năm học 2000-2001. (2)
Bài 1: Cho biểu thức 1 1 1 22
1 1 1 1 1 (x x ) : ( x ) P x x x x x − + = − − − + − − + − . a. Rút gọn P.
b. Chứng minh rằng P < 1 với mọi giá trị của x ≠±1.
Bài 2: Hai vịi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nðu chảy cùng một thời gian nh nhau thì lợng nớc của vịi II bằng 2/3 lơng nớc của vịi I chảy đợc. Hỏi mỗi vịi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể.
Bài 3: Chứng minh rằng phơng trình : x2− 6x+ =1 0 cĩ hai nghiệm x1 = 2− 3 và
x2 = 2+ 3.
Bài 4: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đ-
ờng trịn ( M khơng trùng với A, B). Ngời ta vẽ một đờng trịn tâm E tiếp xúc với đờng trịn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB. Đờng trịn (E) cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai là C, D.
a. Chứng minh rằng ba điểm C, E, D thẳng hàng.
b. CMR đờng thẳng MN đi qua một điểm cố định K và tích KM.KN khơng đổi. c. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là P và Q. Xác định vị trí của M để diện tích ∆ NPQ đạt giá trị lớn nhất và chứng tỏ khi đĩ chu vi ∆ NPQ đại giá trị nhỏ nhất.
d. Tìm quỹ tích điểm E.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên Đại học khoa học tự nhiên
Bài 1: a) Cho f(x) = ax2 + bx + c cĩ tính chất f(x) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên hỏi các hệ số a, b, c cĩ nhất thiết phải là các số nguyên hay khơng? Tại sao? b) Tìm các số nguyên khơng âm x, y thỏa mãn đẳng thức : x2 = y2+ y−1
Bài 2: Giải phơng trình 4 x+ =1 x2−5x+14
Bài 3: Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn hệ : 23 32 4 4 3 5 9 17 ax by ax by ax by ax by + = + = + = + =
Tính giá trị của các biểu thức A ax= 5+by5và B ax= 2001+by2001
Bài 4: Cho đoạn thẳng Ab cĩ trung điểm là O. Gọi d, d’ là các đờng thẳng vuơng gĩc với AB tơng ứng tại A, B. Một gĩc vuơng đỉnh O cĩ một cạnh cắt d ở M, cịn cạnh kia cắt d’
ở N. kẻ OH ⊥ MN. Vịng trịn ngoại tiếp ∆ MHB cắt d ở điểm thứ hai là E khác M. MB cắt NA tại I, đờng thẳng HI cắt EB ở K. Chứng minh rằng K nằm trên một đờng trịn cố đinh khi gĩc vuơng uqay quanh đỉnh O.
Bài 5: Cho 2001 đồng tiền, mỗi đồng tiền đợc sơn một mặt màu đỏ và một mặt màu
xanh. Xếp 2001 đồng tiền đĩ theo một vịng trịn sao cho tất cả các đồng tiền đều cĩ mặt xanh ngửa lên phía trên. Cho phép mỗi lần đổi mặt đồng thời 5 đồng tiền liên tiếp cạnh nhau. Hỏi với cánh làm nh thế sau một số hữu hạn lần ta cĩ thể làm cho tất cả các đồng tiền đều cĩ mặt đỏ ngửa lên phía trên đợc hay khơng ? Tại sao ?