Phương pháp Fourier tách bước

Để thực hiện quá trình truyền ngược tín hiệu ta cần giải thuật để giải phương trình (2.8). Do hai phương trình Schrodinger thuận và ngược này chỉ khác nhau về dấu của các tham số sợi quang, nên tahoàn toàn có thể dùng chung một giải thuật để giải chúng. Phương pháp đơn giản và phổ biến nhất hiện nay cho phép giải quyết vấn đề này, đó là phương pháp Fourier chia bước (SSFM - Split Step Fourier Method)[1].

Bình thường, khi lan truyền trong sợi quang các hiện tượng tán sắc và phi tuyến sẽ xảy ra đồng thời trên suốt dọc chiều dài sợi quang. Tuy nhiên với phương pháp SSFM, bằng việc chia chiều dài tuyến quang thành các phân đoạn có độ dài đủ nhỏ (h), người ta giả định rằng tín hiệu quang khi lan truyền trên các phân đoạn đó, sẽ chịu tác động của các hiện tượng tán sắc và phi tuyến một cách độc lập. Cụ thể, quá trình lan truyền của tín hiệu quang trong cự ly từ z đến z + h, sẽ được chia thành hai bước.Trong bước thứ nhất sẽchỉ cótác động của hiệu ứng phi tuyến (D0),và trong bước thứ hai sẽ chỉ có tác động của hiệu ứng tuyến tính (N 0). Khi đó, nghiệm của phương trình (2.5)có thể được mô tả gần đúng như sau:

 

( , ) exp ( , )

E zh t  h N D E z t

  (2.1)

    2

exp exp exp ...

2

h

hN hD  h N D N DDN 

     

  (2.2)

Nếu bỏ qua các số hạng bậc cao của h, biểu thức (2.2)có thểđược viết gần đúngnhư sau:

     

exp h N D exp hN exp hD

  (2.3)

Từ(2.1)và (2.3),suy ra nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến Schrödinger được viết lại như sau:

   

( , ) exp exp ( , )

E zh t  hN hD E z t (2.4)

Kết quả (2.4) được biết đến như là một phương pháp SSFM bất đối xứng. Trong đó người ta cho rằng hiệu ứng phi tuyến phần lớn được tập trung tại đầu của mỗi phân đoạn quang, nơi có công suất tín hiệu quang là lớn nhất.

Một yêu cầu tất yếu trong giải thuật là việc giải hai toán tử Nvà D. Trong đó, với toán tử N ta có thể dễ dàng giải được ngay trong miền thời gian thông qua biểu thức (2.6).Tương tự đối với toán tử D, ta có thể thấy rằng, sẽ rất khó khăn nếu cố gắng giải nó trong miền thời gian. Tuy nhiên nếu chuyển nó sang miền tần số, sử dụng phép biến đổi Fourier, thì việc tính toán lại hoàn toàn trở nên đơn giản:

  2 2 ( ) 2 2 j D j F D      (2.5) Tóm lại, thuật toán SSFM bất đối xứng có thể được mô tả như sau:

     

 

1

( , ) exp ( ) exp ( , )

E zh t F hD j F hN E z t (2.6)

Hình 2.2: Thuật toán SSFM bất đối xứng

̂ ̂ km z + h z E(z, t) E(z+h, t) h

Ngoài thuật toán SSFM bất đối xứng, để tăng độ chính xác trong mô phỏng quá trình lan truyền xung trong sợi quang, phương pháp SSFM đối xứng được sử dụng với khối hiệu ứng phi tuyến được đặt vào giữa mỗi phân đoạn quang và cần hai bước để tính hiệu ứng tuyến tính trên mỗi phân đoạn. Tuy nhiên xét về hiệu quả tính toán trong xử lý tín hiệu số, phương pháp SSFM làm tăng mức độ phức tạp và tải tính toán so với phương pháp SSFM bất đối xứng. Do vậy xét về hiệu quả xử lý và tính khả thi trong thực tế, thuật toán SSFM bất đối xứng sẽ được xem xét áp dụng trong phương pháp truyền ngược.