Bất đẳng thức Korn kéo theo bài toán divergence

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng divergence (Trang 37 - 39)

Ta sẽ chứng minh (4.3) kéo theo (4.2) với 1 < 𝑝 < ∞. Đặc biệt, với 𝑝 = 2 ta có thể khẳng định kết quả là tương đương.

Mệnh đề 4.2 ([4]) Cho Ω ⊂ ℝ𝑛là một miền bị chặn liên thông hoàn toàn,

𝜔 = Ω → (0, ∞) là hàm trọng bị chặn thỏa (4.1) và 1 < 𝑝 < ∞ sao cho (Ω, 𝑝, 𝜔) thỏa mãn tính chất Korn (4.3), khi đó (Ω, 𝑝, 𝜔) thỏa mãn tính chất (4.2).

div u = 𝑓 và

u‖𝑊1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω).

Vì 𝜔 bị chặn nên u ∈ 𝑉(Ω, 𝑝, 𝜔) và

u‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω). Do đó tồn tại v∈ 𝑉 với div v= 0 thỏa mãn

uv∈ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(Ω, 𝑝, 𝜔) và ‖v‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω). Áp dụng 𝑇(𝜏) ≔ ∫Curl u : 𝐷w

với mọi 𝜏 ∈ 𝐿𝑞𝑠𝑦𝑚(Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)2×2có thể viết 𝜏 = 𝜀(w) với w ∈ 𝑊(Ω, 𝑝, 𝜔). Khi div u có giá trị trung bình bằng 0 nghĩa là có 𝑇 được xác định. Hơn nữa, áp dụng tính chất Korn (4.3) ta thu được tính liên tục của 𝑇 trong

𝐿𝑞𝑠𝑦𝑚(Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)2×2 như sau: |𝑇(𝜏)| = |∫Curl u : 𝐷w Ω | ≤ ‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω) inf 𝑧∈𝒩‖𝐷(wv)‖𝐿𝑞(Ω) ≤ 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω)‖𝜀(w)‖ 𝐿2(Ω,𝜔− 𝑞 𝑝) = 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω)‖𝜏‖ 𝐿2(Ω,𝜔− 𝑞 𝑝).

Theo định lí Hanhn-Banach hàm 𝑇 có thể được mở rộng thành 𝐿𝑞𝑠𝑦𝑚(Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)2×2, do đó theo định lí biểu diễn Riesz tồn tại 𝜎 ∈ 𝐿𝑞𝑠𝑦𝑚(Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)2×2 sao cho

𝑇(𝜏) ≔ ∫ 𝜎 ∶ 𝜏

∀𝜏 ∈ 𝐿𝑞𝑠𝑦𝑚(Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)2×2

‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) ≤ 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω),

với 𝐶 phụ thuộc vào Ω, 𝜔. Đặc biệt,

∫ 𝜎 ∶ 𝜀(Ω w) = ∫ΩCurl u : 𝐷w, ∀w ∈ 𝑊. (4.4) Khi đó, vì 𝜎 đối xứng nên ta có thể thay 𝜀(w) trong (4.4) bằng 𝐷w.

Vì 𝜔 thỏa mãn điều kiện (4.1) nên 𝜎 ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐(Ω). Ta chứng minh rằng Div σ= 0. Ta có:

Div𝜎 ∙ r = − ∫ 𝜎 ∶ 𝐷r =

Ω Ω

∫ Curl v ∶ 𝐷r = ∫Div Curl vr =

Ω Ω

0,

với mọi r ∈ 𝐶0∞(Ω)𝑛 và do đó Div𝜎 = 0. Từ Bổ đề 2.5, tồn tại v∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐1,𝑝(Ω)2 sao cho

Curl v= 𝜎.

Do đó

‖𝐷v‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = ‖Curl v‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = ‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝜔).

Ta kiểm tra div v = 0, vì 𝜎 là tenso đối xứng ta có div v= 𝜕v1 𝜕𝑥1+ 𝜕v2 𝜕𝑥2 = −𝜎12 + 𝜎21 = 0. Do đó v ∈ 𝑉 với ‖v‖𝑉 = ‖𝐷v‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = ‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω) Từ (4.4) ta có uv ∈ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(Ω, 𝑝, 𝜔)

Suy ra điều phải chứng minh. □

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng divergence (Trang 37 - 39)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(45 trang)