Mục đích của phần này là chỉ ra sự tồn tại của các nghịch đảo phải của bài toán divergence trong không gian Sobolev có hàm trọng.
{
−∆u+ ∇𝑝 = f trong Ω
div u = 0 trong Ω
u = 0 trên 𝜕Ω
(4.5) Với miền bị chặn Ω là Lipschitz, nếu f ∈ 𝐻−1(Ω)𝑛 thì tồn tại nghiệm duy nhất
(u, 𝑝) ∈ 𝐻01(Ω)𝑛 × 𝐿20(Ω)
Hơn nữa, đánh giá tiên nghiệm sau chỉ ra rằng
‖u‖𝐻1(Ω)𝑛 + ‖𝑝‖𝐿2(Ω) ≤ 𝐶‖f‖𝐻−1 (Ω),
với hằng số 𝐶 phụ thuộc vào miền Ω.
Phát biểu yếu hơn của (4.5) có thể viết như sau
{𝑎(u, v) − 𝑏(v, 𝑝) = ∫Ωf ∙v ∀v ∈ 𝑉 𝑏(u, 𝑞) = 0 ∀𝑞 ∈ 𝑄, (4.6) với 𝑎(u, v) = ∫ 𝐷u : 𝐷v Ω và 𝑏(v, 𝑞) = ∫ 𝑝 div v Ω , với
v∈ 𝐻1(Ω)𝑛, 𝐷v là ma trận vi phân của v , cho hai ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) và 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) trong ℝ𝑛×𝑛, 𝐴 ∶ 𝐵 = ∑𝑛𝑖,𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑏𝑖𝑗.
Sự tồn tại và duy nhất của (4.6) khi 𝑎 và 𝑏 là các chuẩn song tuyến tính liên tục, 𝑎 là coercive trên nhân của toán tử 𝐵 ∶ 𝑉 → 𝑄′ liên hợp với 𝑏, và 𝑏 thỏa mãn điều kiện inf-sup
inf
0≠𝑞∈𝑄 sub
0≠v∈𝑉
𝑏(v, 𝑞)
‖𝑞‖𝑄‖v‖𝑉 > 0.
Trong trường hợp bài toán Stokes, nếu ta chọn không gian 𝑉 = 𝐻01(Ω)𝑛 và
sinh ra bởi bất đẳng thức Schwarz và Poincare. Vì vậy, bài toán đưa về chứng minh điều kiện inf-sup cho 𝑏 xác định như sau
inf 0≠𝑞∈𝐿20(Ω) sub 0≠v∈𝐻01(Ω)𝑛 ∫ 𝑞 Ω div v ‖𝑞‖ 𝐿02(Ω)‖v‖𝐻01(Ω) > 0. (4.7) Ngoài ra điều kiện này tương đương với sự tồn tại nghiệm của div v= 𝑓, với bất kỳ 𝑓 ∈ 𝐿20(Ω), u ∈ 𝐻01(Ω)𝑛 thỏa mãn ‖u‖𝐿
0
2(Ω) ≤ 𝐶, nó không đúng trên các miền có các đỉnh bên ngoài.
Với các miền mà (4.7) không đúng, ta sẽ thay thế điều kiện này bằng một điều kiện yếu hơn. Do đó ta sẽ làm việc với các chuẩn trọng.
Xét không gian 𝐿2(Ω, 𝜔−1) ⊂ 𝐿1(Ω) với 𝜔 ∈ 𝐿1(Ω) và ∫ 𝑞𝜔 = 0Ω với 𝑞 ∈ 𝐿2(Ω, 𝜔). Do đó ta có thể xác định không gian
𝐿2𝜔,0(Ω, 𝜔) = {𝑞 ∈ 𝐿2(Ω, 𝜔) ∶ ∫ 𝑞𝜔 = 0Ω }.
Định lí 4.3 ([7]) Cho 𝜔 ∈ 𝐿1(Ω) là một hàm trọng dương. Giả sử rằng với bất kỳ 𝑓 ∈ 𝐿20(Ω, 𝜔−1)tồn tại u ∈ 𝐻01(Ω)𝑛 sao cho div u = 𝑓 và
‖u‖𝐻1(Ω) ≤ 𝐶1‖𝑓‖𝐿2(Ω,𝜔−1),
với hằng số 𝐶1 phụ thuộc Ω và 𝜔. Khi đó, với bất kỳ f ∈ 𝐻−1(Ω)𝑛tồn tại duy nhất nghiệm (u, 𝑝) ∈ 𝐻01(Ω)𝑛× 𝐿2𝜔,0(Ω, 𝜔) của bài toán Stokes (4.5). Hơn nữa,
‖u‖𝐻1(Ω) + ‖𝑝‖𝐿2(Ω,𝜔) ≤ 𝐶2‖f ‖𝐻−1(Ω),
với 𝐶2 phụ thuộc 𝐶1 và Ω.
Chứng minh.
Xét về áp suất ta xét không gian 𝑄 = 𝐿2𝜔,0(Ω, 𝜔) với chuẩn ‖𝑞‖𝑄 = ‖𝑞‖𝐿2(Ω,𝜔).
Vì chúng ta đang thay đổi không gian áp suất, chúng ta phải mở rộng chuẩn
𝐻1 của không gian vận tốc để bảo toàn tính liên tục của dạng song tuyến
𝑉 = {v∈ 𝐻01(Ω)𝑛 ∶ div u ∈ 𝐿2(Ω, 𝜔−1)}
với ‖v‖𝑉2 = ‖v‖𝐻1(Ω)
2 + ‖div v‖𝐿22(Ω,𝜔−1).
Vì ‖v‖𝐻1(Ω) ≤ ‖v‖𝑉, sử dụng bất đẳng thức Schwarz ta có tính liên tục của
𝑎 trong 𝑉 × 𝑉. Ngoài ra, từ định nghĩa của các không gian dễ dàng thấy rằng
𝑏 liên tục trong 𝑉 × 𝑄.
Mặt khác, coercivity của 𝑎 theo chuẩn của 𝑉 trên nhân của toán tử 𝐵 sinh ra từ bất đẳng thức Poincare bởi vì nhân này chứa các trường vecto tự do phân kỳ. Ta chứng minh inf 0≠𝑞∈𝑄 sub 0≠v∈𝑉 ∫ 𝑞 Ω div v ‖𝑞‖𝑄‖v‖𝑉 > 0. (4.8)
Thật vậy, cho 𝑞 ∈ 𝑄 tồn tại u ∈ 𝐻01(Ω)𝑛 sao cho div u = 𝑞𝜔 và
‖u‖𝐻1(Ω) ≤ 𝐶1‖𝑞𝜔‖𝐿2(Ω,𝜔−1) = 𝐶1‖𝑞‖𝑄.
Hơn nữa, vì ‖div u ‖𝐿2(Ω,𝜔−1) = ‖𝑞‖𝑄 ta có
‖u‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝑞‖𝑄 , với 𝐶 chỉ phụ thuộc vào 𝐶1.
Khi đó, ‖𝑞‖𝑄 =∫ 𝑞 𝑞𝜔Ω ‖𝑞‖𝑄 ≤ 𝐶 ∫ 𝑞 Ω div u ‖u‖𝑉 . Do đó ta có (4.8).
KẾT LUẬN
Luận văn này đã khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình dạng Divergence trên các không gian hàm có trọng. Cụ thể, khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình div u = 𝑓 trên miền Holder−𝛼 với lớp hàm trọng là lớp hàm lũy thừa của khoảng cách hoặc lớp hàm trọng Muckenhoupt 𝐴𝑝.
Kết quả chính là các định lí 2.1, định lí 2.6, định lí 2.9, định lí 2.10, định lí 3.1.
Kết quả này ứng dụng vào để chứng minh bất đẳng thức Korn với tính chính quy nghiệm của phương trình Stokes. Kết quả này được trình bày trong định lí 4.3.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] G. Acosta, R.G. Duran and A. Lombardi, Weighted Poincare and Korn inequalities for Holder- domains, Math. Meth. Appl. Sci. 29 (2006) 387- 400.
[2] G. Acosta, R.G. Duran and F. Lopez Garcia, Korn inequality and divergence operator: Counterexamples and optimality of weighted estimates, Proceedings of the American Mathematical Society 141 (2013), 217-232.
[3] G. Acosta R.G. Duran and M. A. Muschietti, Solutions of the divergence operator on John Domains, Advances in Mathematics 206 (2006) 373- 401.
[4] R. Duran and F. Lopez Garcia, Solutions of the divergence and analysis of the Stokes equations in planar domains, Math. Mod. Meth. Appl. Sci.
20 (1) (2010) 95-120.
[5] R. Duran and F. Lopez Garcia, Solutions of the divergence and Korn inequalities on domains with an external cusp, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 35 (2010), 421-438.
[6] R.G. Duran and M. A. Muschietti, An explicit right inverse of the divergence operator which is continuous in weighted norms, Studia Math. 148 (2001) 207-219.
[7] G. P. Galdi, An introduction to the Mathematical theory of the Navier- Stokes equations, Linearized steady problems I, Springer (1994).