Khái niệm Đại số gia tử

Định nghĩa 1.6 [35]: Một ĐSGT được ký hiệu là bộ 4 thành phần được ký hiệu là AX = (X, G, H, ) trong đó G là tập các phần tử sinh, H là tập các gia tử (hedge) còn “” là quan hệ cảm sinh ngữ nghĩa trên X. Giả thiết trong

G có chứa các phần tử hằng 0, 1, W với ý nghĩa là phần tử bé nhất, phần tử lớn nhất và phần tử trung hòa (neutral) trong X. Ta gọi mỗi giá trị ngôn ngữ

xX là một hạng từ (term) trong ĐSGT.

Tập H được chia thành hai tập con rời nhau, ký hiệu là H và H+, trong đó H là tập gia tử âm (các gia tử làm giảm ngữ nghĩa của các phần tử sinh),

H+ là tập các gia tử dương (các gia tử làm tăng ngữ nghĩa của các phần tử sinh). Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết rằng H- = {h-1<h-2< ... <h-q} và H+ = {h1<h2< ... <hp}. Khi tác động gia tử hH vào phần tử xX, thì thu được phần tử ký hiệu hx. Với mỗi xX, ký hiệu H(x) là tập tất cả các hạng từ

uX được sinh từ từ ngôn ngữ x bằng cách áp dụng các gia tử trong H và viết u = hn…h1x, với hn, …, h1H, n  1.

Nếu tập X và H là các tập sắp thứ tự tuyến tính, khi đó AX = (X, G, H,

) gọi là ĐSGT tuyến tính. Và nếu được trang bị thêm hai gia tử tới hạn là 

và  với ngữ nghĩa là cận trên đúng và cận dưới đúng của tập H(x) khi tác động lên x, thì ta được ĐSGT tuyến tính đầy đủ, ký hiệu AX* = (X, G, H, ,

, ). Lưu ý rằng hn...h1u được gọi là một biểu diễn chính tắc của một hạng từ x đối với u nếu x = hn...h1u và hi...h1uhi-1...h1u với i nguyên và in. Ta gọi độ dài của một hạng từ x là số gia tử trong biểu diễn chính tắc của nó đối với phần tử sinh cộng thêm 1, ký hiệu l(x).

Ví dụ 1.3: Cho biến ngôn ngữ TRUTH, có G = {0, FALSE, W, TRUE,

1}, H- = { Possible<Little } và H+ = { More<Very }. Khi đó Very FALSE <

More FALSE < FALSE < Possible FALSE < Little FALSE < TRUE < More TRUE < Very TRUE.