Các kiến thức trình bày tiếp theo được tham khảo từ trang 91 đến trang 99 của tài liệu ([4]).
Định lý 3.0.1 Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón
K.F :X−→2X\{;}là toán tử đa trị thỏa mãn: a) F(x)đóng với mọix thuộcX.
b) F là toán tử đa trị(1)−tăng.
c) Tồn tạix0∈Xsao cho{x0}6(1)F(x0).
d) Tồn tạiq∈(0, 1)sao cho∀x,y∈X,x6y thì
F(x)⊂F(y)−B(0,q°°x−y°°)∩KvớiB(0,q.°°x−y°°)là quả cầu đóng tâm
O, bán kínhq.°°x−y°°.
Khi đó,F có điểm bất độngx∗∈Xvớix∗>x0.
Chứng minh.
Từ d) suy ra∀u∈F(x),∃v∈F(y) :u6v,ku−vk6q°°x−y°°. Từ c) suy ra∃x1∈F(x0) :x06x1.
Do x06x1 mà F là ánh xạ (1) - tăng nên F(x0)6(1)F(x1). Mà x1∈F(x0)
nên∃x2∈F(x1):x16x2 vàkx2−x1k6qkx1−x0k. Dox16x2nên vớix2∈F(x1),∃x3∈F(x2) :x26x3và kx3−x2k6qkx2−x1k6q2kx1−x0k.
Lặp lại quá trình trên, ta tìm được dãy(xn)thỏa mãnxn∈F(xn−1)và
xn−16xn,kxn+1−xnk6qkxn−xn−1k6. . .6qn.kx1−x0k. Khi đó ta có: ° °xn+p−xn°°=°°xn+p−xn+p−1+xn+p−1−. . .+xn+1−xn°° 6°°xn+p−xn+p−1°°+. . .+ kxn+1−xnk 6(qn+p−1+qn+p−2+. . .+qn)kx1−x0k = n+p−1 X i=n qikx1−x0k = kx1−x0k n+p−1 X i=n qi = kx1−x0kq n−qn+p 1−q .
Vậy(xn)là dãy Cauchy trong X. Lại thêmX là không gian Banach nên
(xn)hội tụ, nghĩa là∃x∗∈X: limxn=x∗. Do dãy(xn)tăng nên x∗>xn ∀n∈N. Do đó
F(xn)6(1)F(x∗)∀n∈N.
xn−16x∗nênF(xn−1)6(1)F(x∗).
Vớixn∈F(xn−1),∃yn∈F(x∗) :°°xn−yn°°6qkxn−1−x∗k. Chon−→ +∞, ta đượclimyn=x∗.
Do(yn)n⊂F(x∗),F(x∗)đóng vàlimyn=x∗ nênx∗∈F(x∗). VậyF có điểm bất động làx∗ và x∗>x0.
Định lý 3.0.2 Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón
a) F(x)đóng với mọix∈X. b) Klà nón chuẩn.
c) Tồn tạix0∈Xsao cho{x0}6(1)F(x0).
d) Tồn tại toán tử tuyến tínhL:X−→Xcó bán kính phổr(L)<1,L(K)⊂ Kvà thỏa mãnx6y thì∀u∈F(x),∃v∈F(y) : 06v−u6L(y−x). Khi đó,F có điểm bất động trongM.
Chứng minh.
VìlimkLnkn1 =r(L)<1nên∃q∈(0, 1)sao chokLnk6qn khin đủ lớn. Do c) nên∃x1∈F(x0) :x06x1.
Từ giả thiết e), ta cóx06x1nên vớix1∈F(x0),∃x2∈F(x1)thỏa
x16x2và06x2−x16L(x1−x0).
Dox16x2nên∃x3∈F(x2)thỏa:
x26x3 và06x3−x26L(x2−x1).
Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy(xn)là dãy tăng và thỏa:
06xn+1−xn 6L(xn−xn−1)6L2(xn−1−xn−2)6. . .6Ln(x1−x0).
VìKlà nón chuẩn nên∃N>0sao cho:
kxn+1−xnk6N°°Ln°°kx1−x0k6N qnkx1−x0k. Suy ra ° °xn+p−xn ° °6°°xn+p−xn+p−1 ° °+°°xn+p−1−xn+p−2 ° °+. . .+ kxn+1−xnk 6Nkx1−x0k n+p−1 X i=n qi =Nkx1−x0k.q n −qn+p 1−q .
Vậy(xn)là dãy Cauchy.
MàXlà không gian Banach nên(xn)hội tụ, nghĩa là∃x∗∈X: limxn=x∗. Do(xn)n là dãy tăng nênxn6x∗ ∀n∈N∗.
Ta có xn−1 6 x∗, do điều kiện d) nên F(xn−1)6 F(x∗), mà xn ∈ F(xn−1)
nên∃yn∈F(x∗)thỏa 06yn−xn6L(x∗−xn−1). ⇒°°yn−xn ° °6NkLk kx∗−xn−1k. ⇒limyn=limxn =x∗. Lại cóF(x∗)đóng,(yn)⊂F(x∗),yn−→x∗, suy rax∗∈F(x∗). Do đóF có điểm bất động x∗ vàx∗>x0.