Entropy
Các kiến thức trình bày tiếp theo được tham khảo từ trang 91 đến trang 99 của tài liệu ([5]).
Mệnh đề 9 (Nguyên lý Entropy)
Cho(M,6)là một tập sắp thứ tự và hàmS:M −→[−∞;+∞)thỏa: a) Mọi dãy tăng trong tập M đều có cận trên thuộcM (xn 6a∈M). b) S đơn điệu tăng (a 6b⇒S(a)6S(b)) và bị chặn trên (∃N >0 :S(a)6
N,∀a∈M).
Khi đó, tồn tạiu∈M sao cho∀v∈M,v>u⇒S(u)=S(v).
Chứng minh.
CoiS(M)6={−∞}. Lấy tùy ýu1∈M màS(u1)6= −∞rồi xây dựng các phần tửu16u26. . .như sau:
Giả sử đã cóun, ta đặtMn={v∈M:v>un},βn=sup{S(v) :v∈Mn}. Nếuβn=S(un)thìun là giá trị cần tìm.
Nếuβn>S(un), ta tìm đượcun+1 thỏa mãn: un+1∈Mn S(un+1)>βn−1 2 £ βn−S(un)¤ .
Nếu quá trình trên vô hạn thì ta có dãy tăng{un}thỏa:
2S(un+1)−S(un)>βn,∀n∈N∗.
Gọiulà một cận trên của{un}. Với v>u, ta có: v∈Mn,∀n∈N∗
⇒S(v)6βn 62S(un+1)−S(un)
⇒S(v)6limS(un)(Giới hạn tồn tại do S đơn điệu tăng và bị chặn trên (giả thiết)).
⇒S(v)6S(u)hayS(v)=S(u). (Điều phải chứng minh)
Định lý 4.0.1 Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón
K,M ⊂X là một tập đóng.F :M−→2M\{;}là ánh xạ(1)−tăng thỏa mãn: a) F(x)đóng∀x∈M.
b) Tồn tạix0∈Xsao cho{x0}6(1)F(x0). c) ∀x∈M,∀y1∈F(x),∃y∈F(x) :y >y1.
d) Nếu các dãy (xn), (yn) là các dãy tăng sao cho yn ∈F(xn)thì dãy (yn)
hội tụ.
Chứng minh. ĐặtM0={x∈M : {x}6(1)F(x)}. Ta có thể giả sử
x6y ∀y∈F(x)vớix∈M0. (4.1) Ta định nghĩa toán tửGxác định trên M0như sau:G(x)=F(x)∩[x,+∞). Khi đó,x6y ∀y∈G.
Mặt khác, ta có:G:M0−→2M0. Thật vậy ta có:
∀y∈G(x)thìx6y⇒F(x)6(1)F(y). Mày∈F(x)⇒{y}6(1)F(y)⇒y∈M0. Nhận xét:G thỏa tất cả các điều kiện của định lý. Thật vậy,
• Lấyx∈M0. Giả sử dãy(xn)⊂G(x)và xn−→z. Ta có:
(xn)⊂G(x)⇒(xn)⊂F(x). MàF(x)đóng nênz∈F(x). Mặt khác, doxn>x ∀n∈N∗nênz>x. Suy raz∈G(x). Nghĩa làG(x)đóng.
• Theo giả thiết,∃x0∈X: {x0}6(1)F(x0)⇒ ∃z0∈F(x0) :x06z0
⇒z0∈F(x0)∩[x0,+∞)=G(x0)⇒z0∈G(x0). Nghĩa là∃x0∈X: {x0}6(1)G(x0). • Lấy x∈M0,∀y1, y2∈G(x)⇒y1,y2∈F(x),∃y ∈F(x) :y>y1,y >y2 nên y>x⇒y ∈G(x). Do vậy,∃y ∈G(x) :y16y,y26y. • Lấyx∈M.
Lấy(xn), (yn)là các dãy tăng, thỏaxn 6yn,yn∈G(xn). Khi đó ta có yn ∈F(xn),yn>x.
Theo giả thiết,(yn)−→z∈F(x). Khi đóz∈F(xn),z>x
⇒yn−→z∈G(x).
Ta kiểm tra đượcF(M0)⊂M0.
Thật vậy, lấy y∈F(M0)thì∃x∈M0:y∈F(x).
Theo (4.1) thìx6y⇒F(x)6(1)F(y)⇒{y}6(1)F(y)⇒y∈M0. Để áp dụng nguyên lý Entropy, ta cần kiểm tra 2 điều kiện sau:
Điều kiện 1: Chứng minh mọi dãy tăng (xn) trong M0 đều có cận trên.
Lấy(xn)là dãy tăng trongM0.
VìF là ánh xạ (1) - tăng nên có thể lấy(yn)là dãy sao cho yn∈F(xn)
và(yn)tăng.
Theo điều kiệnd)thì(yn)n hội tụ, đặt y=limyn. Khi đó yn6y ∀n∈ N∗ (do(yn)là dãy tăng).
Vì yn∈F(xn)nên theo(∗), ta cóxn6yn ∀n∈N∗. Do đó
xn6y⇒F(xn)6(1)F(y)n∈N∗. Khi đó,∃zn∈F(y) :yn6zn.
Do điều kiệnc), ta có thể xem(zn)n là dãy tăng. Khi đó dãy(zn)n hội tụ vềe∈F(y)(doF(y)đóng).
Dozn6e ∀n⇒yn6e⇒y 6e. Màe∈F(y)nên{y}6(1)F(y)⇒y ∈M0. Như vậy,∃y∈M0:xn 6y ∀n∈N∗.
Vậy dãy tăng(xn)n có cận trêny ∈M0.
Điều kiện 2: Chứng minh tồn tại một hàm đơn điệu tăng, bị chặn trên, xác định trênM0.
Lấy x∈M0, do điều kiện c) nên∃y,z∈M0:x6y 6z; và F là ánh xạ đa trị (1) - tăng nênF(y)6(1)F(z)
Khi đó,∀u∈F(y),∃v ∈F(z) :u6v. Đặt: Mx={(u,v)∈M0×M0|u6v và∃y,z∈M0:u∈F(y),v∈F(z),x6y6z}. Do(x,x)∈Mx nênMx6= ;. Xét hàm: S :M0 −→ [0,+∞) x 7−→S(x)=sup{ku−vk |(u,v)∈Mx} .
Nhận xét:S là hàm giảm nên(−S)là hàm tăng.
Như vậy,(−S)là hàm đơn điệu tăng, bị chặn trên bởi 0và xác định trênM0.
Áp dụng nguyên lý Entropy choM0và hàm(−S)thì:
∃a∈M0:∀x∈M0,x>a⇒S(x)=S(a) (4.2) Ta chứng minhS(a)=0.
Giả sử ngược lại, giả sử∃α>0 :S(a)>α. Ta có
sup{ku−vk |(u,v)∈Ma}>α ⇒ ∃x1,x2,y1,y2∈M0: a6x16x2 y1∈F(x1),y2∈F(x2) ° °y1−y2°°>α,y16y2
Vì a6x2 y2∈F(x2) , a6x2 x26y2 nêna6y2∈M0. Do đó (4.2), ta đượcS(y2)=S(a)>α. Do S(y2)>α nênsup{ku−vk |(u,v)∈My2}>α, do đó ∃x3,x4, y3,y4∈ M0sao cho: y26x36x4 y3∈F(x3),y4∈F(x4) ky3−y4k >α,y36y4 Vì y2∈F(x2)nênx26y2 vàx26x3. y3∈F(x3)nênx36y3⇒y26y3. Khi đó a6x2 x26y3 ⇒a6y3∈M0⇒S(y3)=S(a)>α.
Một cách tương tự, ta có dãy(xn)n, (yn)n tăng sao choyn ∈F(xn)và thỏa
ky2n−1−y2nk >α(mâu thuẫn với d)). VậyS(a)=0.
Ta chứng minh mỗib∈F(a)đều là điểm bất động củaF trongM. Dob∈F(a)nêna6b. Lấyc∈F(b)thìb6c.
Khi đó,a6b6c ⇒(b,c)∈Ma⇒ kb−ck6S(a)=0⇒ kb−ck =0
⇒b=c.
Suy rab∈F(b). Như vậy,blà điểm bất động củaF trongM. Ta chứng minhblà điểm bất động lớn nhất củaF trong M.
x>b. Khi đó ta có: b6x b∈F(a) ⇒ b6x a6b ⇒a6b6x⇒(b,x)∈Ma ⇒ kb−xk6S(a)=0⇒b=x.
Vậyb là điểm bất động lớn nhất củaF trongM.
Hệ quả 4.0.2 Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón
K,M = 〈u,v〉 ⊂X.
F :M−→2M\{;}là toán tử đa trị(1)−tăng thỏa mãn: a) F(x)đóng,∀x∈M.
b) ∀x∈M,∀y1∈F(x),∃y∈F(x) :y >y1. c) Klà nón đều.
Khi đó,F có điểm bất động trongM.
Chứng minh.
Ta chứng minh rằng các điều kiện của Định lý 4.0.1 đều thỏa. Ta cóM= 〈u,v〉nên{u}6(1)F(u).
Lấy(xn), (yn)là các dãy tăng sao cho yn∈F(xn).
Ta cũng có(yn) bị chặn do yn 6v ∀n∈N∗. Hơn nữa, K là nón đều nên
(yn)hội tụ.
Như vậy, tất cả các điều kiện của Định lý 4.0.1 đều thỏa. Do đó F có điểm bất động trongM.
Hệ quả 4.0.3 Giả sửXlà không gian Banach được sắp thứ tự bởi nónK.
a) F(x)đóng,∀x∈M.
b) ∀x∈M,∀y1∈F(x),∃y∈F(x) :y >y1.
c) Klà nón chuẩn vàXlà không gian phản xạ. Khi đó,F có điểm bất động trongM.
Chứng minh. DoK là nón chuẩn vàXlà không gian phản xạ nênK là nón đều. Khi đó, các giả thiết của Hệ quả 4.0.2 đều thỏa mãn. Từ đó ta suy raF có điểm bất động.
KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn đã trình bày được:
1. Phương pháp sử dụng bậc topo 2. Phương pháp sử dụng dãy lặp
3. Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy
trong việc tìm hiểu về các bao hàm thức trong không gian có thứ tự. Tùy vào từng lớp ánh xạ mà chúng ta có những phương pháp đặc thù để nghiên cứu, tìm hiểu. Ví dụ như phương pháp sử dụng bậc topo được sử dụng để nghiên cứu tính chất tập nghiệm của phương trình cũng như nghiên cứu về cặp riêng dương của ánh xạ đa trị, áp dụng đối với các ánh xạF có tính compact và nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới; phương pháp sử dụng dãy lặp được sử dụng để nghiên cứu về sự tồn tại của điểm bất động đối với ánh xạ đa trị khi có những điều kiện liên quan đến tính co; phương pháp sử dụng Nguyên lý Entropy dùng để nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng mà không cần điều kiện liên tục.
Thông qua việc viết Luận văn này, bản thân hiểu hơn các kiến thức đã được học về Giải tích hàm, Giải tích thực, ... và biết vận dụng chúng trong học tập các vấn đề mới và làm quen với công việc nghiên cứu khoa học.
Hi vọng Luận văn này sẽ phần nào hỗ trợ sinh viên Đại học và học viên Cao học khi học về giải tích Đa trị.
[1] J.Aubin-I.Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, J.Wiley and Sons, New-York, 1984.
[2] K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Spring-Verlag, Berlin, 1985.
[3] L.Gasinskii, N.S.Papageorgiou, Nonlinear Analysis, Chapman and Hall/CRC, 2005.
[4] N. B. Huy, N. H. Khanh,Fixed Point for multivalued increasing op- erators, J. Math. Anal. Appl, 250(2000), 368-371.
[5] Nguyen Bich Huy,Fixed points of increasing multivalued operators and an application to discontinous alliptic equations, Nonlinear Analysis, 51(2002), 673-678.
[6] Nguyễn Bích Huy,Giáo trình môn Giải tích phi tuyến 2, Thành phố Hồ Chí Minh, 2010.
[7] N. B. Huy, T. T. Binh, V. V. Tri,The monotone monorant method and eigenvalue problem for multivalued operators in cones, Fixed Point Theory, 19(2018), 275-286.
[8] Phan Quốc Khánh, Giải tích đa trị (Giáo trình Cao học), ĐHQG Tp.HCM, 1999.
[9] V. V. Prasolov,Elements of Combinational and Differential Topology
(pp. 93-99), American Mathematical Society, Providence, Rhode Is- land, USA, 2006.