Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày tổng quan phương pháp toán tử FK về lịch sử hình thành, ý tưởng chính cũng như nội dung của phương pháp theo các hướng tiếp cận khác nhau. Chỉ ra được sự phát triển của phương pháp thể hiện qua việc kết hợp nó với phép biến đổi Levi – Civita, qua việc xử lí các số hạng với biểu thức phức tạp hơn các toán tử trong công trình sơ khởi [37], và hướng giải quyết bài toán mới khi áp dụng phương pháp toán tử FK theo hướng giải tích cùng những ưu nhược điểm của nó.
Bài toán về các hệ lượng tử trong thực tế là các bài toán khó với số các số hạng trong phương trình Schrödinger khá lớn và biểu thức cũng khá phức tạp, do đó số lượng bài toán có lời giải chính xác vô cùng ít. Vì thế các hướng tiếp cận và giải gần
đúng bài toán được đưa ra để giải quyết vấn đề này. Phương pháp nhiễu loạn và nguyên lý biến phân là hai cách tiếp cận gần đúng phổ biến nhất và được trình bày khá rõ ràng và chi tiết trong các giáo trình cơ lượng tử [63]. Phương pháp nhiễu loạn lấy ý tưởng chính là chia Hamilton của bài toán ra thành hai thành phần: phần chính là phần đã biết được nghiệm giải tích chính xác và phần còn lại được xem là phần nhiễu loạn. Với cách làm này nghiệm của bài toán đang xét được biểu diễn gần đúng qua nghiệm của thành phần chính và các bổ chính ở các bậc cao hơn tùy thuộc vào yêu cầu độ chính xác bài toán. Phương pháp nhiễu loạn thành công trong việc giải các bài toán có thành phần nhiễu loạn rất nhỏ so với thành phần chính. Tuy nhiên đây cũng là hạn chế của phương pháp, nghĩa là nó chỉ áp dụng được cho những bài toán thỏa điều kiện đó. Phương pháp biến phân là một trong những hướng giải quyết gần đúng hiệu quả đối với các bài toán mà phương pháp nhiễu loạn gặp hạn chế. Phương pháp này lấy cơ sở từ nguyên lý biến phân, cụ thể nội dung phương pháp là chọn một hàm sóng và đưa vào đó các tham số cùng những điều kiện để xác định các tham số này sao cho hàm sóng được chọn này gần với trạng thái cơ bản của hệ đang xét. Trạng thái cơ bản và các trạng thái kích thích bậc thấp thu được kết quả tốt khi áp dụng phương pháp biến phân, tuy nhiên với các trạng thái kích thích bậc cao hơn thì phương pháp này gặp vấn đề. Bên cạnh đó việc phức tạp trong quá trình xử lí các tham số và chọn một hàm sóng thích hợp để đưa vào cũng khiến cho phương pháp gặp hạn chế về mặt ứng dụng.
Nhằm kế thừa những ưu điểm cũng như khắc phục những hạn chế gặp phải trong phương pháp nhiễu loạn và phương pháp biến phân, năm 1982 hai tác giả Feranchuk và Komarov đã đưa ra phương pháp toán tử FK [37]. Nội dung của phương pháp được thể hiện qua 4 bước chính như sau:
Bước 1: Đưa các số hạng trong phương trình Schrödinger về dạng toán tử thông qua các toán tử sinh hủy aˆ và aˆ được định nghĩa [37]:
1 ˆ ˆ ˆ , 2 ˆ ˆ ˆ . 2 x a a p i a a (1.2)
Toán tử aˆ và aˆ thỏa hệ thức giao hoán a aˆ ˆ, 1. Trong định nghĩa ta thấy sự xuất hiện của tham số , đây là ý tưởng kế thừa được từ phương pháp biến phân khi đưa một tham số bên ngoài vào bài toán. Công thức (1.2) là dạng được tác giả đưa ra để minh họa cho bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều trong không gian tọa độ x trong công trình [37], trong quá trình sử dụng cho các bài toán khác nhau định nghĩa của các toán tử sinh hủy cũng có những biến thể khác nhau phù hợp với nội dung bài toán.
Bước 2: Chia Hamilton bài toán thành hai thành phần
0
ˆ( ,ˆ ˆ , ) ˆ (ˆ ˆ, ) ˆ( ,ˆ ˆ , ),
H a a H a a V a a (1.3)
trong đó: H a aˆ ˆ ˆ( , , ) là toán tử Hamilton; H a aˆ ˆ ˆ0( , ) là thành phần chính nó chỉ chứa các số hạng trung hòa aaˆ ˆ ; V a aˆ ˆ ˆ( , , ) được xem là thành phần nhiễu loạn. Ở bước 2
ta thấy được sự kế thừa của phương pháp nhiễu loạn trong phương pháp toán tử FK. Tuy nhiên trong phương pháp nhiễu loạn việc chia phần chính và phần nhiễu loạn dựa vào ý nghĩa vật lý, còn trong phương pháp toán tử FK việc chia như vậy hoàn toàn phụ thuộc vào dạng biểu thức của các số hạng trong bài. Hạn chế của phương pháp nhiễu loạn là ở việc chỉ áp dụng cho bài toán có thành phần chính lớn so với phần nhiễu loạn, phương pháp FK khắc phục nhược điểm này thông qua tham số được đưa vào ở bước 1. Tham số này có tác dụng điều chỉnh để thành phần chính
0
ˆ ˆ ˆ( , )
H a a luôn lớn hơn nhiều so với thành phần nhiễu loạn V a aˆ ˆ ˆ( , , ) qua đó bài toán luôn có thể được giải quyết theo ý tưởng của lý thuyết nhiễu loạn ứng với giá trị tham số thích hợp.
Bước 3: Xác định bộ hàm sóng cơ sở. Trong bước 2 H a aˆ ˆ ˆ0( , ) được chọn là thành phần chính nên nghiệm riêng của nó quyết định mạnh đến nghiệm của bài toán đang xét. Như đã đề cập trong tiêu chí lựa chọn, H a aˆ ˆ ˆ( , ) chỉ chứa các số hạng
trung hòa a aˆ ˆ nên bộ hàm riêng của nó chính là bộ dao động tử điều hòa. Như vậy
bộ hàm cơ sở trong phương pháp toán tử FK phù hợp nhất chính là bộ dao động tử điều hòa, hàm sóng cần tìm lúc này sẽ được khai triển dưới dạng tổ hợp của bộ hàm cơ sở. Điểm đặc biệt và linh động của bộ hàm cơ sở trong phương pháp toán tử FK là ở chỗ nó có thể thay đổi giá trị thông qua việc điều chỉnh tham số để tối ưu hóa quá trình tính toán tìm nghiệm chính xác.
Bước 4: Giải bài toán và tìm nghiệm chính xác. Sau khi có được bộ hàm cơ sở, để xác định nghiệm bài toán lúc này ta sẽ quy về giải hệ phương trình tuyến tính. Để giải quyết vấn đề này ta có thể tiến hành lập trình giải số bằng các ngôn ngữ lập trình thích hợp, sau đó nghiệm số thu được có thể xác định bằng phương pháp vòng lặp hoặc giải trực tiếp bằng gói LAPACK trong thư viện Intel.
Với nội dung như trên phương pháp FK tương đối hiệu quả trong việc giải các bài toán lượng tử [28], [29], [33] ,[38] –[40], [64] – [66], bên cạnh đó sự phát triển không ngừng của các kĩ thuật tính toán cũng như ứng dụng giải số trên máy tính tạo điều kiện phát triển thuận lợi cho phương pháp toán tử FK. Việc đưa các toán tử trong phương trình Schrödinger về dạng toán tử sinh hủy đại số cũng góp phần làm đơn giản hóa quá trình xử lí bài toán khi các tính toán lúc này chỉ thuần là các phép biến đổi đại số. Tuy vậy không phải tất cả các biểu thức tính toán đều có thể dễ dàng đưa về dạng đại số. Trong công trình gốc [37] các tác giả chỉ đưa ra các toán tử sinh hủy ứng với trường hợp cho biến tọa độ và đạo hàm của nó, trong thực tế các biểu thức tính toán đa dạng hơn với các hàm như: 1/r, sin( )r , cos( )r , exp( )r , ln( )r ,… gây khó khăn cho quá trình đưa về dạng số trong nội dung phương pháp. Trong quá trình phát triển phương pháp, chúng tôi đã có hướng giải quyết thành công cho các biểu thức dạng 1/r là một dạng biểu thức khá phổ biến trong các bài toán về hệ nguyên tử, trong không gian hai chiều việc này được thực hiện với sự trợ giúp từ phép biến đổi Levi – Civita [42]. Công trình [41] còn chỉ ra được, bên cạnh việc xử lí được biểu thức 1/r, phép biến đổi Levi – Civita còn đưa bài toán hệ nguyên tử đang xét về dạng bài toán dao động tử điều hòa/ phi điều hòa, qua đó tạo cơ sở vững chắc cho việc chọn bộ hàm sóng cơ sở lúc này là bộ dao động tử điều hòa. Đối với biếu thức exp( )r
công trình [67] cũng đưa ra hướng giải quyết với một quy trình chặt chẽ. Biểu thức hàm e mũ xuất hiện khá nhiều trong các tiệm cận của hàm sóng [29], trong các phép biến đổi như Laplace [68] hay Fourier [69], cũng như trong biểu thức thế năng hay các thế màn chắn [33], [36] …, với việc xử lí được số hạng này phương pháp toán tử FK có thể mở rộng phạm vi hiệu quả cho các bài toán có biểu thức tương tự.
Hiện nay, với hướng tiếp cận mới của các phương pháp gần đúng thể hiện thông qua ý tưởng chính ở việc chọn bộ hàm cơ sở phù hợp sau đó khai triển hàm sóng cần tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của bộ hàm được chọn, như các phương pháp DVR (Discrete Variable Representation – Biểu diễn biến rời rạc), VBR (Variational Basis Representation – Biểu diễn cơ sở biến phân), … phương pháp toán tử FK được hiểu theo hướng này qua việc chọn bộ hàm sóng cơ sở là bộ dao động tử điều hòa. Với cách tiếp cận này, nội dung của phương pháp toán tử FK bây giờ không hẳn bám sát theo bốn bước đã nêu trên mà trở nên linh động hơn và cũng đa dạng hơn, thay vì giải bài toán theo hướng đưa về các toán tử sinh hủy để xử lí tính toán theo hướng đại số thì giờ có thể giải bài toán ngay cả theo hướng tính toán giải tích. Các biểu thức chưa thể đưa về dạng đại số để áp dụng các toán tử sinh hủy theo hướng tiếp cận đại số, giờ đã có thể giải quyết theo hướng tính toán giải tích. Từ đó mở rộng phạm vi ứng dụng của phương pháp toán tử FK. Tuy vậy, khi tính toán theo hướng giải tích quá trình xử lí bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều so với hướng đại số khi các tính toán lúc này không đơn thuần biến đổi đại số mà thay vào đó là các phép tính tích phân đòi hỏi phải kết hợp kĩ năng tính toán, xử lí hàm, sử dụng các gần đúng v.v… Việc lập trình giải số theo hướng tính toán giải tích cũng trở nên phức tạp hơn nhiều so với hướng tính toán đại số.
Một trong những mục đích thực hiện luận văn này của chúng tôi là nhằm phát triển phương pháp toán tử FK, trong nội chung công trình chúng tôi sẽ kết hợp cả tính toán giải tích và tính toán đại số trong quá trình xử lí bài toán exciton trong từ trường với thế màn chắn Cudazzo hiệu chỉnh. Để làm được việc này chúng tôi cần xây dựng được bộ hàm cơ sở cho phương pháp toán tử FK ở cả dạng đại số và dạng giải tích, việc này sẽ được thực hiện trong chương 2.
Chương 2. THẾ MÀN CHẮN CUDAZZO HIỆU CHỈNH VÀ
BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU TRONG TỪ TRƯỜNG
Chương này gồm hai nội dung chính: Thế màn chắn Cudazzo hiệu chỉnh và bài toán exciton trong từ trường. Trong nội dung về thế màn chắn Cudazzo hiệu chỉnh, đầu tiên chúng tôi sẽ điểm qua sơ lược về biểu thức cũng như ý tưởng xây dựng của một số thế màn chắn đã được sử dụng để xét ảnh hưởng của môi trường lên exciton, sau đó là những lập luận của chúng tôi khi đưa ra thế màn chắn Cudazzo hiệu chỉnh, cũng như lý do thực hiện việc này. Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ sử dụng thế màn chắn vừa được hiệu chỉnh để đưa vào bài toán exciton trong từ trường mà chúng tôi quan tâm.