7. Cấu trúc khóa luận
2.4. Phân tích chương 4: “Các định lý giới hạn”
2.4.1. Phân tích nội dung kiến thức
Các định lý giới hạn gồm: định lý giới hạn Poisson, định lý giới hạn Moivre – Laplace, định lý giới hạn trung tâm, định lý Chebyshev.
Định lý Chebyshev cho ta thấy rằng mặc dù từng đại lượng ngẫu nhiên độc lập có thể nhận giá trị sai khác nhiều so với kỳ vọng toán của chúng nhưng trung bình số học của số lượng lớn các đại lượng ngẫu nhiên lại nhận giá trị gần bằng trung bình số học của các kỳ vọng toán của chúng với xác suất rất lớn. “Trong thực tế, định lý Chebyshev được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Chẳng hạn, trường hợp riêng của nó là cơ sở cho phép đo lường trong vật lý” [17, tr.140]. Với cơ sở là định lý
Chebyshev, trong các phép đo vật lý người ta sẽ tiến hành đo nhiều lần và lấy giá trị trung bình của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo. Bên cạnh đó, định lý Chebyshev còn là cơ sở cho phương pháp trong thống kê.
Trong các bài toán thực nghiệm, ta thường gặp tình huống cần xác định khả năng xuất hiện của một biến cố trong nhiều phép thử và sử dụng phân phối nhị thức để tính xác suất. Tuy nhiên, phân phối nhị thức chỉ phù hợp trong trường hợp số lượng các phép thử tương đối nhỏ, còn khi số lượng phép thử quá lớn và xác suất quá nhỏ thì ta sẽ tính xác suất bằng phân phối Poisson thông qua định lý giới hạn Poisson.
Định lý giới hạn trung tâm dùng để tính xấp xỉ các xác suất thông qua quy luật phân phối chuẩn:
Giả sử X X1, 2,...,Xn,... là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất. E X( )i =, ( ) 2 , . i Var X = i Khi đó: ( 2) 1 , n F i n i X X → N n n = = ⎯⎯⎯→
Tức là: với n khá lớn thì tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất sẽ có phân phối chuẩn với E X( )=n và ( ) 2
.
Var X =n
[17, tr.143]
Trong thực hành người ta thường lấy giá trị n30. Các định lý giới hạn trung tâm có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc áp dụng thống kê toán học trong thực tế.
Chẳng hạn, các sai số của phép đo trong vật lý thường do tổng ảnh hưởng của nhiều đại lượng ngẫu nhiên, mà mỗi đại lượng ngẫu nhiên ảnh hưởng không đáng kể, nên sai số trong phép đo sẽ có phân phối xấp xỉ chuẩn.
[17, tr.143,144]
Cả GT1 và GT2 đều trình bày đầy đủ nội dung các định lý giới hạn trong xác suất. Tuy nhiên, đối với GT1, các định lý giới hạn được tách riêng thành một chương hoặc trong một nội dung riêng của chương. Còn đối với GT2, các định lý giới hạn được trình bày đan xen vào các quy luật phân phối.
2.4.2. Phân tích phần bài tập
Các định lý giới hạn trong xác suất có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kinh tế và khoa học kỹ thuật. Nội dung các câu hỏi và bài tập về chủ đề này cũng có nét tương đồng với các câu hỏi chủ đề về các quy luật phân phối xác suất ở chương 3.
Đối với những câu hỏi về các quy luật phân phối xác suất ta sử dụng các định lý giới hạn như định lý giới hạn Poisson hoặc định lý giới hạn trung tâm để đưa các phân phối về dạng phân phối Poisson hoặc phân phối chuẩn để làm bài. Với những bài toán đề bài yêu cầu ước lượng hoặc đánh giá xác suất theo một điều kiện nào đó ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Chebyshev để giải quyết bài toán đó.
Mặc dù định lý Chebyshev và định lý giới hạn trung tâm có ý nghĩa đối với các phép đo vật lý, tuy nhiên các câu hỏi và bài tập trong các giáo trình chưa đề cập đến những ứng dụng của các định lý giới hạn này trong các phép đo lường vật lý.