Để trình bày hai dãy khớp đối với hàm tử Tor, trước hết ta cần định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3.1. ChoX là môđun vàC là phép giải xạ ảnh củaX.
C:−→Cn −→∂ Cn−1 −→ · · ·∂ −→∂ C1 −→∂ C0 −→∂ X −→∂ 0−→ · · ·
Khi đó, phép giải xạ ảnh thu gọn củaX là dãy nửa khớp
C:−→Cn −→∂ Cn−1 −→ · · ·∂ −→∂ C1 −→∂ C0 −→0−→ · · ·
Ý nghĩa quan trọng của phép giải xạ ảnh thu gọn được cho trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.3.2. Cho X, Y là các môđun,C là phép giải xạ ảnh thu gọn trênX. Khi đó ta có:Hn(C⊗Y) =T orn(X, Y)∀n>0. Chứng minh. C:−→Cn −→Cn−1 −→ · · · −→C1 −→C0 −→X −→0−→ · · · C⊗Y :−→ Cn⊗Y −→ Cn−1⊗Y −→ · · · −→ C1⊗Y −→ C0⊗Y −→ X⊗Y −→ 0−→ · · · C:−→Cn −→∂ Cn−1 −→ · · ·∂ −→∂ C1 −→∂ C0 −→0−→ · · · C⊗Y :−→Cn⊗Y −→∂∗ Cn−1⊗Y −→ · · ·∂∗ ∂∗ −→C1⊗Y −→∂∗ C0⊗Y −→0−→ · · ·
Vớin>1, ta có:Hn(C⊗Y) =Ker(∂n)∗/Im(∂n+1)∗=Hn(C⊗Y)
=T orn(X, Y).
DoC1 ∂1
−→C0 ∂0
−→X −→0khớp nênC1⊗Y (−→∂1)∗C0⊗Y (−→∂0)∗X⊗Y −→0khớp.
Suy ra:Im(∂1)∗ =Ker(∂0)∗. Do đó:
H0(C⊗Y) = C0⊗Y /Ker(∂0)∗ ∼=Im(∂
0)∗(định lí Noether,(∂0)∗ toàn cấu) =X⊗Y =T or0(X, Y)
VậyHn(C⊗Y) =T orn(X, Y)∀n>0.
Định lí 2.3.3. Cho 0 −→ X −→f Y −→g Z −→ 0là dãy khớp ngắn các môđun. M là môđun bất kỳ. Khi đó ta có dãy khớp:
T orn(M, X)−→f∗ T orn(M, Y)−→g∗ T orn(M, Z)−→∂ T orn−1(M, X)−→f∗ T orn−1(M, Y)−→g∗
T orn−1(M, Z)−→ · · · −→M ⊗X−→f∗ M ⊗Y −→g∗ M ⊗Z −→0
Trong đóf∗=T orn(1M, f), g∗=T orn(1M, g).
Chứng minh.
Xét phép giải xạ ảnh thu gọn củaM:
C:Cn −→Cn−1 −→ · · · −→C0 −→0−→ · · ·
VìCn xạ ảnh∀nnên theo mệnh đề 1.4.6 ta có dãy khớp:
0−→Cn⊗X −→Cn⊗Y −→Cn⊗Z −→0. Do đó ta có dãy khớp ngắn các phức:
0−→C⊗X −→C⊗Y −→C⊗Z −→0
Áp dụng định lí 1.6.9, lấy dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn này ta có dãy khớp:
Hn(C⊗X)−→Hn(C⊗Y)−→Hn(C⊗Z)−→∂ Hn−1(C⊗X)−→Hn−1(C⊗Y)−→ · · · −→H1(C⊗Z)−→H0(C⊗X)−→H0(C⊗Y)−→H0(C⊗Z)−→0−→ · · ·
HayT orn(M, X)−→T orn(M, Y)−→T orn(M, Z)−→∂ T orn−1(M, X)−→T orn−1(M, Y)
−→T orn−1(M, Z)−→ · · · −→T or1(M, Z)−→M ⊗X −→M ⊗Y −→M ⊗Z −→0
Định lí 2.3.4. Cho dãy khớp các môđun 0 −→ X −→f Y −→g Z −→ 0. M là môđun bất kỳ. Khi đó ta có dãy khớp:
T orn(X, M)−→f∗ T orn(Y, M)−→g∗ T orn(Z, M)−→∂ T orn−1(X, M)−→f∗ T orn−1(Y, M)−→g∗
T orn−1(Z, M)−→ · · · −→X⊗M −→f∗ Y ⊗M −→g∗ Z⊗M −→0
Chứng minh.
Áp dụng bổ đề 2.1.6, tồn tại các phép giải xạ ảnhC, D, E của X, Y, Z và các ánh xạ
dây chuyềnf :C −→D, g :D−→E sao cho với mọin> 0ta có
0−→Cn −→Dn −→En −→0là dãy khớp ngắn chẻ ra.
Do đó, theo định lí 1.2.6 ta có dãy khớp:
0−→Cn⊗M −→Dn⊗M −→En⊗M −→0
Do đó, nếuC, D, E là các phép giải xạ ảnh thu gọn tương ứng củaC, D, E thì ta có
dãy khớp ngắn các phức:
0−→C⊗M −→D⊗M −→E⊗M −→0
Áp dụng định lí 1.6.9, lấy dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn này ta có dãy khớp:
Hn(C ⊗ M) −→ Hn(D ⊗ M) −→ Hn(E ⊗ M) −→ Hn−1(C ⊗ M) −→ · · · −→
H1(E⊗M)−→H0(C⊗M)−→H0(D⊗M)−→H0(E⊗M)−→0. Do đó, ta có dãy khớp:
T orn(X, M)−→T orn(Y, M)−→T orn(Z, M)−→T orn−1(X, M)−→T orn−1(Y, M)−→
T orn−1(Z, M)−→ · · · −→X⊗M −→Y ⊗M −→Z⊗M −→0.