Cho X là môđun vàC :−→Cn −→ · · ·∂ −→∂ C0 −→∂ X −→∂ 0là phép giải xạ ảnh
trênX, Y là môđun bất kỳ, ta định nghĩaHom(C, Y)là dãy phức (nửa khớp) tiến như
sau:
Hom(C, Y) : 0−→Hom(X, Y)−→δ Hom(C0, Y)−→δ Hom(C1, Y)−→ · · · vớiδ= Hom(∂,1Y).
Khi đó ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.5.1. ChoX, Y là các môđun;C, Dlà hai phép giải xạ ảnh trênX. Khi đó
Hn(Hom(C, Y)) =Hn(Hom(D, Y)), ∀n.
Chứng minh.
Theo hệ quả 2.1.5 ta có C, D tương đương đồng luân, tức là ∃f : C −→ D thỏa
f−1 = 1X và∃g :D−→Cthỏa g−1= 1X.
Suy ragf = 1C, tương tựf g = 1D.
Khi đóf∗ = Hom(f,1Y) = {Hom(fn,1Y) : Hom(Dn, Y)−→Hom(Cn, Y)}
f∗ : Hom(D, Y)−→Hom(C, Y)
g∗ = Hom(g,1Y) = {Hom(gn,1Y) : Hom(Cn, Y)−→Hom(Dn, Y)}
g∗ : Hom(C, Y)−→Hom(D, Y)
Suy raf∗g∗ = (gf)∗= (1C)∗ = 1Hom(C,Y), g∗f∗ = (f g)∗ = (1D)∗ = 1Hom(D,Y)
⇒f∗ là tương đương đồng luân.
⇒Hn(f∗) :Hn(Hom(D, Y))−→Hn(Hom(C, Y))là đẳng cấu VậyHn(Hom(C, Y)) =Hn(Hom(D, Y)), ∀n
Từ mệnh đề trên, ta có thể định nghĩaExtn(X, Y)(sai khác một đẳng cấu) như sau:
Định nghĩa 2.5.2. Cho X, Y là hai môđun, C là phép giải xạ ảnh của X. Với mọi
n>1, ta định nghĩaExtn(X, Y) = Hn(Hom(C, Y)).
Quy ước 2.5.3.
Ext0(X, Y) = Hom(X, Y)
Ext1(X, Y) = Ext(X, Y)
Mệnh đề 2.5.4. NếuX xạ ảnh thìExtn(X, Y) = 0 ∀n >1,∀Y.
Chứng minh.
VìX xạ ảnh nên ta có phép giải xạ ảnh của X
C: 0−→0−→X−→1X X −→0
Theo định lí 1.1.4, ta cóHom(C, Y)khớp
⇒Hn(Hom(C, Y)) = 0∀n >1,∀Y
⇒Extn(X, Y) = 0∀n>1,∀Y.
Mệnh đề 2.5.5. NếuY nội xạ thìExtn(X, Y) = 0∀n >1,∀X.
Chứng minh.
Giả sửC :Cn −→ · · · −→C1 −→C0 −→X −→0là phép giải xạ ảnh bất kỳ của X.
⇒Hn(Hom(C, Y)) = 0∀n >1
⇒Extn(X, Y) = 0∀n>1,∀X.
Định nghĩa 2.5.6.
Cho h : X0 −→ X, g : Y −→ Y0 là các đồng cấu môđun. Gọi C0, C lần lượt là phép giải xạ ảnh củaX0, X. Theo mệnh đề 2.1.3 tồn tạif :C0−→C là ánh xạ dây chuyền thỏaf−1 =h.
Khi đó Hom(f, g) = {Hom(fn, g) : Hom(Cn, Y) −→ Hom(Cn0, Y0)} là ánh xạ dây chuyền từHom(C, Y)vàoHom(C0, Y0)cảm sinh ánh xạ đối đồng điều chiềun:
Hn(Hom(f, g)) :Hn(Hom(C, Y))−→Hn(Hom(C0, Y0)). Ta định nghĩa:
Extn(h, g) = Hn(Hom(f, g)) :Extn(X, Y)−→Extn(X0, Y0). Ext0(h, g) = Hom(h, g).
Mệnh đề 2.5.7. Cho các đồng cấu môđunh: X0−→X, h0: X00 −→X0, g:Y −→Y0, g0: Y0 −→Y00. Ta có:
i) Extn(hh0, g0g) = Extn(h0, g0).Extn(h, g)
ii) Extn(1X,1Y) = 1Extn(X,Y).
Chứng minh.Sử dụng định nghĩa.