Tính chất của các tham số p ,q

p, q thoả mãn tiêu chuẩn PQ1

Trong các bước 6, 7 của thuật toán 3.1 và các bước 4 và 5 của thuật toán 3.2 có thể sử dụng một trong các thuật toán sinh số nguyên tố tất định đã được giới thiệu trong Chương 1 (Thuật toán 1.13 hoặc Thuật toán 1.14) để

sinh các số nguyên tố p1, p2, q1, q2, thì p, q, p1, p2, q1, q2 thỏa mãn tiêu chuẩn PQ1.

p, q thoả mãn tiêu chuẩn PQ2

Với việc chọn độ dài cho các số nguyên tố p1, p2, q1, q2 trong các bước 3, 4 của thuật toán 3.1 và các bước 2, 3 của thuật toán 3.2 đảm bảo cho tiêu chuẩn PQ2 được thoả mãn.

p, q thoả mãn tiêu chuẩn PQ3

Trước hết từ bước 11 của thuật toán 3.1 ta có:

p < 2plen (3.6) Mặt khác trong bước 12: 2 0 1 2( ) 1 p tp y p p  = 2tp p p0 1 22yp p0 11, với t (2yp p0 1 x) /(2p p p0 1 2) , tức là: 0 1 0 1 2 (2 ) /(2 ) t yp p x p p p và do đó p(2yp p0 1x)2yp p0 1  1 x 1, mà   1 2 2plen 1, 2plen 1 x     nên   1 2 2plen p  (3.7) Từ (3.6) và (3.7): 1 ( 2)(2plen ) p(2plen1) (3.8) Tương tự khi xem xét bước 9 và bước 10 của thuật toán 3.2, ta có:

1

( 2)(2qlen )q(2qlen1) (3.9) Từ (3.8) và (3.9) ta có p, q thoả mãn tiêu chuẩn PQ3.

p, q thoả mãn tiêu chuẩn PQ4

p, q thoả mãn tiêu chuẩn PQ5

Từ việc thiết lập ứng cử viên cho p và q trong các bước 12 của thuật toán 3.1 và bước 10 của thuật toán 3.2 ta thấy p, q là các số nguyên tố có dạng

p = 2bp0p1+1, q = 2b'p0q1+1 (với b, b' là các số nguyên dương) nên ta có p0 là ước của |p-q|.

Mặt khác, nếu với cách tính độ n0 trong bước 2 của thuật toán 3.1 thì khi đó tiêu chuẩn PQ5 được thoả mãn.

p, q thoả mãn tiêu chuẩn PQ6

Từ việc thoả mãn tiêu chuẩn PQ2 và tính chất của p1, q1 được sinh ở các bước 6 trong thuật toán 3.1 và bước 4 trong thuật toán 3.2 thì độ dài tối thiểu của p11 và q11 thoả mãn tiêu chuẩn PQ6.