Bài toán 3: Sử dụng phương pháp tính đơn điệu của hàm số

7. Cấu trúc luận văn

2.4.3. Bài toán 3: Sử dụng phương pháp tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một phương pháp quen thuộc, tuy nhiên đây là phương pháp khó khi chúng ta giải phương trình hay bất

phương trình mũ, logarit. Việc sử dụng phương pháp này đòi hỏi HS phải có kĩ năng nhất định, HS phải tinh ý khi nhận ra dấu hiệu để giải phương trình hay bất phương trình theo cách này.

2.4.3.1. Cách thực hiện

Để rèn luyện kĩ năng giải bài toán bất phương trình mũ và bất phương trình logarit sử dụng tính đơn điệu của hàm số GV hướng dẫn HS giải toán theo quy trình bốn bước của Polya.

Ngoài ra để rèn luyện tốt phương pháp này GV cần chú ý cho HS một số kiến thức cần nhớ sau:

+ Tính đơn điệu của hàm số mũ    x

f x a : 1 a hàm số đồng biến 1 2 1 2 x x . x x a a     0 a 1 hàm số nghịch biến 1 2 1 2 x x . x x a a    

+ Tính đơn điệu của hàm số logarit  f x loga x: 1

a hàm số đồng biến  x1x2logax1logax2. 0 a 1 hàm số nghịch biến x1 x2 logax1logax2.

+ Định lý: Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f x  f y  nếu x y (hoặc y x).

2.4.3.2. Ví dụ vận dụng

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3.2x 7.5x 49.10x2

*Phân tích: Đối với ví dụ này trước hết GV cần cho HS nhận xét thấy rằng bất phương trình chứa ẩn ở ba cơ số khác nhau cho nên không thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hay đưa về cùng cơ số. Để giải được dạng bất phương trình GV cần tổ chức cho HS các hoạt động sau:

+ Đọc đề bài và nhận dạng bài toán.

+ GV tổ chức cho HS hoạt động dự đoán nghiệm (bằng MTBT) và đưa ra hướng giải.

+ Trình bày lời giải, có thể trình bày lời giải theo cách sau:

3.2 7.5 2 1 1 1 49 3 7 2 49 10 5 2 10 x x x x x x                           Xét hàm số:   1 1 1 3 7 2 5 2 2 x x x f x                      xác định trên Ta có:   1 1 1 1 1 1 ' 3 ln 7 ln 2 ln 0, 5 5 2 2 10 10 x x x f x               x                           f x  nghịch biến trên .

Lại có: f   1 49. (Sử dụng MTBT tính giá trị biểu thức lại x 1) Khi đó   x 1: f x  f  1 49

Vậy nghiệm của bất phương trình là x 1.

+ HS kiểm tra và nghiên cứu lời giải đưa hướng giải khác.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình log2x 6 log3x75

*Phân tích: Bài toán yêu cầu giải bất phương logarit với các cơ số khác nhau, để HS có thể xác định được phương pháp giải GV có thể tổ chức cho HS các hoạt động như sau:

+ HS tìm hiểu, nhận dạng các biểu thức có mặt trong bất phương trình.

+ Xét tính đơn điệu của hàm số, dựa vào tính chất của hàm số đồng biến nghịch biến để kết luận nghiệm.

+ GV hướng dẫn HS trình bày lời giải:

Giải: Điều kiện: 6 0

6 7 0 x x x          

Xét f x logxx 6 log3x7 trên  6;  có

   1  1' 0 ' 0 6 ln 2 7 ln 3 f x x x        f x  đồng biến trên  6; .

Lại có f 2 5.(Sử dụng MTBT tính giá trị biểu thức lại x2) Khi đó   x 6 : f x  f  2 5

+ HS kiểm tra và nghiên cứu lời giải đưa hướng giải khác.

*Bình luận: Qua các ví dụ giúp HS rèn luyện các kĩ năng tìm tập xác định của hàm số mũ, logarit; kĩ năng biến đổi biểu thức liên quan đến hàm số mũ, logarit; kĩ năng khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ, logarit; kĩ năng giải phương trình bất phương trình mũ và logarit với sự hỗ trợ của MTBT.

* Lưu ý: + Đối với dạng toán này GV hướng dẫn HS sử dụng MTBT hỗ trợ trình bày lời giải.

+ GV cần lưu ý cho HS không được lạm dụng MTBT với các bài toán bất phương trình đơn giản. Trong quá trình hướng dẫn HS sử dụng MTBT GV cũng cần chỉ rõ cho HS thấy được tại sao có được cách bấm máy tính như vậy.

2.4.3.3. Một số bài tập tham khảo

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a) 3 x4 2 2x4 13; Đáp số x0.

Kết luận chƣơng 2

Trên cơ sở tổng quan cơ sở lí luận và nghiên cứu thực tiễn của đề tài chương 2 của luận văn đã trình bày một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề hàm số lũy thừa - mũ - logarit cho HS lớp 12 THPT với sự hỗ trợ của MTBT. Với mục đích rèn luyện kĩ năng giải toán với sự hỗ trợ của MTBT thì chương 2 đã trình bày tương đối đầy đủ các dạng bài tập cụ thể theo từng chủ đề kiến thức với các mức độ từ dễ đến khó theo một mạch kiến thức chung là:

+ Kiến thức cần đạt + Kĩ năng cần đạt + Cách thực hiện + Ví dụ vận dụng

+ Một số bài tập tham khảo

Trong đó là hệ thống các ví dụ, các dạng bài tập trong chủ đề hàm số lũy thừa - mũ - logarit có thể sử dụng sự hỗ trợ của MTBT. Máy tính bỏ túi có rất nhiều chức năng, làm thế nào để HS có thể biết đến, tìm hiểu và vận dụng chúng vào hỗ trợ quá trình giải toán? Điều đó phụ thuộc rất nhiều vào sự dẫn dắt, khơi gợi vấn đề từ giáo viên.

Để minh họa cho một phần các biện pháp sư phạm và kiểm nghiệm tính khả thi cũng như hiệu quả của các biện pháp trong giảng dạy, chương 3 của luận văn sẽ trình bày vấn đề thực nghiệm sư phạm.

Chƣơng 3

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành với mục đích kiểm nghiệm giả thuyết khoa học, bước đầu đánh giá tính khả thi và hiệu quả của một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS lớp 12 THPT trong chủ đề hàm số lũy thừa - mũ - logarit với sự hỗ trợ của MTBT.

3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm

- Biên soạn các giáo án theo hướng rèn luyện kĩ năng giải toán có sử dụng sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi thông qua một số tình huống dạy học giải bài tập chủ đề hàm số lũy thừa - mũ - logarit lớp 12.

- Chọn lớp thực nghiệm, tiến hành thực nghiệm, thao giảng, dự giờ, ghi nhận tình hình học tập của HS trong các tiết học có sử dụng máy tính bỏ túi.

- Tiến hành kiểm tra lớp thực nghiệm. Đánh giá và phân tích chất lượng, hiệu quả của thực nghiệm và hướng khả thi của việc sử dụng sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi trong dạy học rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề hàm số lũy thừa - mũ - logarit lớp 12.

3.3. Nội dung thực nghiệm

Nội dung thực nghiệm nằm trong Chương 2 sách Đại số và Giải tích 12 (cơ bản): “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit”. Số tiết dạy thực nghiệm là hai tiết gồm:

Bài soạn 1: Hàm số mũ, hàm số logarit (Tiết 2)

Bài soạn 2: Phương trình mũ và phương trình logarit (Tiết 1-2) 3.4. Đối tƣợng thực nghiệm

Quá trình thực nghiệm được thực hiện tại Trường THPT Cửa Ông - TP Cẩm Phả - Tỉnh Quảng Ninh.

Để chọn được lớp thực nghiệm và lớp đối chứng, chúng tôi căn cứ vào một sốt tiêu chuẩn sau:

+ Học lực của HS hai lớp. + Số lượng HS của hai lớp.

Trước khi thực nghiệm chúng tôi trình bày mục đích, nội dung thực nghiệm với Ban giám hiệu, tổ chuyên môn của trường, cùng các giáo viên phụ trắc giảng dạy môn Toán của hai lớp.

Hai lớp 12A1, 12A2 thỏa mãn các tiêu trí:

+ Số lượng HS: lớp 12A1 là 39 HS, 12A2 là 38 HS + Học lực của HS hai lớp là tương đương nhau Lớp thực nghiệm là 12A1 và lớp đối chứng là 12A2.

3.5. Tổ chức thực nghiệm

3.5.1. Tiến hành thực nghiệm

Thời gian thực nghiệm trong suốt quá trình dạy và học nội dung “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit” (chương II - Giải tích 12) [10]

Trong thời gian thực nghiệm, chính tác giả là người biên soạn các giáo án thực nghiệm theo hướng nghiên cứu của luận văn và thầy Nguyễn Đình Tĩnh đảm nhiệm việc dạy theo hướng áp dụng các biện phép sư phạm đã đề xuất. Tại lớp đối chứng, thầy Bùi Văn Tú đã thực hiện việc dạy bình thường theo các giáo án mà thầy đã chuẩn bị. Sau mỗi tiết dự giờ ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng tôi đều ghi chép lại diễn biến của tiết học đặc biệt là diễn biến về tâm lý, nhận thức của HS, từ đó so sánh và rút ra kinh nghiệm cho bản thân.

Sau khi kết thúc đợt thực nghiệm tôi đã thực hiện việc đánh giá HS về kiến thức, kĩ năng thông qua bài kiểm tra 15 phút dưới hình thức 10 câu trắc nghiệm.

3.5.2. Giáo án thực nghiệm

Kế hoạch bài dạy (Giáo án) 1:

§4. HÀM SỐ MŨ . HÀM SỐ LÔGARIT (tiết 2)

Thời gian thực hiện: 1 tiết

I. Mục tiêu

1. Kiến thức

- Phát biểu được định nghĩa hàm số logarit. - Hiểu cách tìm tập xác định của hàm sô logarit. - Biết công thức tính đạo hàm của hàm sô logarit.

- Biết dạng đồ thị của hàm số logarit, các tính chất của hàm số logarit và đồ thị của nó.

2. Năng lực

*) Năng lực chung:

- Năng lực tự chủ và tự học: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập.

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình.

*) Năng lực toán học:

- Năng lực tư duy và lập luận toán học: Dựa vào định nghĩa đưa được ra tập xác định của các hàm số logarit.

- Năng lực giải quyết vấn đề toán học: Nhận biết, phát hiện vận dụng được các công thức tính đạo hàm của hàm số logarit vào giải toán. Nhận dạng được đồ thì hàm số logarit. Xác định được hàm số logarit khi biết đồ thị hàm số trong trường hợp đặc biệt.

- Năng lực giao tiếp toán học: Nghe hiểu, đọc hiểu và tự tin diễn đạt được các vấn đề liên quan đến hàm số logarit.

3. Về phẩm chất

Trung thực, trách nhiệm, chăm học, chăm làm. Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

1. Giáo viên: Giáo án, đồ dùng dạy học, máy chiếu, máy tính Casio fx

2. Học sinh: Ôn lại bài cũ, có đọc trước nội dung bài mới, chuẩn bị đầy đủ đồ dùng học tập, máy tính Casio fx.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC 1. Hoạt động 1: Khởi động (5 phút)

a) Mục tiêu: Hình thành kiến thức mở đầu dẫn đến khái niệm hàm số logarit.

b) Nội dung: Học sinh phải tính các giá các giá trị của log2xứng với các giá trị của x, nhận xét gì về sự tương ứng giữa x và y.

Nhiệm vụ: Tính các giá trị của log2xứng với các giá trị của x đã cho trong bảng và điền vào chỗ trống:

x 1

2 1 2 4

2

log x

Đặt ylog2x. Em có nhận xét gì về sự tương ứng giữa xvà y?

c) Sản phẩm: Ghi ra giấy/bảng phụ kết quả và đưa ra các nhận xét về các kết quả

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ và HS thực hiện theo yêu cầu. Bước 2: GV gọi HS trình bày sản phẩm.

Bước 3: HS trình bày sản phẩm trước cả lớp. Các HS khác đưa ra nhận xét. Bước 4: GV giới thiệu tên gọi của ylog2x là một hàm số và gợi mở vào bài mới.

Dụng ý sư phạm: Qua hoạt động 1 khởi động góp phần củng cố kiến thức cũ liên quan đến logarit và khái niệm hàm số logarit sẽ được đề cập trong bài học mới. Qua hoạt động này cũng giúp HS phát triển năng lực tính toán (tính toán logarit), năng lực giao tiếp (trình bày bài làm trước lớp).

Ngoài ra, nếu HS được tìm hiểu trước về tính giá trị của các biểu thức logarit trên máy tính bỏ túi, HS có thể thực hiện thao tác như sau để tính toán các giá trị trong bảng ở hoạt động khởi động:

Bấm i máy tính hiển thị

Nhập các cơ số, hệ số vào để được kết quả, chẳng hạn

Hoạt động này cũng tạo sự hứng thú, lôi cuốn HS vào bài học mới.

2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới - Định nghĩa, đạo hàm của hàm số logarit, khảo sát hàm số logarit. (18 phút)

2.1. Định nghĩa

a) Mục tiêu:

+ Biết được tập xác định của hàm số logarit.

+ Sử dụng được ngôn ngữ toán học để phát biểu định nghĩa logarit.

b) Nội dung: HS tự phát biểu được khái niệm hàm số thông qua các ví dụ gợi ý ở hoạt động khởi động, các ví dụ về hàm số logarit.

c) Sản phẩm:

+ Định nghĩa hàm số logarit

Cho số thực dương a 1: Hàm số ylogax được gọi là hàm số logarit cơ số a. + Ví dụ 1: Các hàm số 3 1

2

log ; log ; ln ; log

y x y x y x y x được gọi là

những hàm số logarit lần lượt có cơ số là 1 3; ; ;10. 2 e + Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm sốylog2x1,  2  1 2 log y x x . d) Tổ chức thực hiện

Bước 1: HS đưa ra định nghĩa hàm số logarit dựa vào hoạt động khởi động. Bước 2: GV giao nhiệm vụ thực hiện ví dụ 1, HS thực hiện theo yêu cầu và đưa ra câu trả lời.

Bước 3: GV giao nhiệm vụ thực hiện ví dụ 2 hướng dẫn HS sử dụng MTBT, HS thực hiện theo yêu cầu và đưa ra câu trả lời.

Bước 4: GV chốt các kiến thức.

Dụng ý sư phạm: Qua ví dụ 2, khi sử dụng MTBT HS sẽ biết được hàm số logarit có nghĩa khi nào bằng cách thay các giá trị, chẳng hạn như sau:

Ở ví dụ a) ylog2x1 khi thay x 1 được log 02 , nhập log 02 vào máy tính

và bấm phím = được

HS sẽ thấy màn hình báo lỗi, tương tự thay các giá trị khác HS sẽ rút ra được câu trả lời ylog2x1 xác định khi x 1 0.

2.2. Đạo hàm của hàm số logarit

a) Mục tiêu:

+ Biết được các công thức tính đạo hàm của hàm số logarit.

+ Vận dụng được các công thức tính đạo hàm của hàm số logarit vào tính đạo hàm của các hàm số logarit.

b) Nội dung: HS biết được các công thức tính đạo hàm của hàm số logarit, hoạt động nhóm thực hiện các ví dụ 3, ví dụ 4.

c) Sản phẩm:

Định lý 3: Hàm số ylogax a( 0;a1) có đạo hàm với mọi x0 và 1 (log ) ' . ln ax x a  Đặc biệt:(ln ) 'x 1. x 

Chú ý: Đối với hàm hợp ylogau x , ta có   '

log ' . ln a u u u a  + Ví dụ 3: Hàm số ylog22x1 có đạo hàm là 2 ' (log (2 1)) ' y  x (2 1)' 2 (2 1)ln 2 (2 1)ln 2 x x x      .

+ Ví dụ 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 ln( 1 ) y x x ; b) 3 log x y x  d) Tổ chức hoạt động

Bước 1: GV tổ chức hoạt động hình thành kiến thức cho HS nội dung định lý 3, trường hợp đặc biệt, chú ý. HS trả lời các câu hỏi của GV để đưa ra được định lý 3, trường hợp đặc biệt và chú ý.

Bước 2: GV đưa ví dụ 3, HS hoạt động cá nhân thực hiện theo yêu cầu.