Xuất phát từ định lí cosin trong tam giác: a2 b2 c2 2bc cos A, ta có:
a b2 c2 2bc cos A (*)
Ta rút ra nhận xét: Nếu các vế của bất đẳng thức đại số cần chứng minh chứa các biểu thức dạng (*) thì có thể gắn vào tam giác với các cạnh thỏa mãn (*) rồi chuyển bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức Hình học tương ứng. Nếu chứng minh được bất đẳng thức Hình học này thì bất đẳng thức đại số là đúng.
Người ta còn sử dụng các hệ quả suy trực tiếp từ định lí cosin trong tam giác: 1. Nếu 0 A thì a 2 b 2 c2 , a b c
2. Nếu
2
để giải các bài toán bất đẳng thức Đại số.
Bài toán 19. Chứng minh rằng:
x2 3x 2 9 x2 4x 2 16 5, x R (14)
Lời giải: Ta xét các trường hợp sau: a. TH1: x 0. Khi đó
x 2 3 x 2 9 x 2 3 x 2 9 9 3
VT (14) 7 (14) đúng.
x 2 4 x 2 16 x 2 4 x 2 16 16 4
b. TH2. x 0. Xét tam giác ACD với AC = 3, CD = x, ACD =450 và tam
giác BCD với BC = 4, CD = x, BCD = 450 Theo định lí cosin trong tam giác ta có:
AD x 2 3 x 2 9; DB x 2 4 x 2 16
Vì90 AB
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
AD DB AB.
Đây là bất đẳng thức đúng Điều phải chứng minh.
Bài toán 20. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có:
a2 ab b2 b2 bc c2 a2 ac c2 .
Lời giải:
download by : skknchat@gmail.com Đặt OA = a, OB = b, OC = c, AOB = BOC = 600
AOC = 1200
Theo định lí cosin trong tam giác ta có:
AB a2 2ab cos600 b2 a2 ab b2 BC b2
2bc cos600 c2 b2 bc c2
AC a2 2ac cos1200 c2 a2 ac c2 Vì AB BC
AC nên từ trên suy ra đpcm.
A
O
B
C
Bài tập:
1. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có:
a2 ab b2 b2 bc c2 a2 ac c2 .
2. Cho ba số dương a,b,c, a c,b c .Chứng minh rằng: c(a c ) c(b c ) ab
3. Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta ln có:
a 2 ab 2 b 2 b 2 bc 3 c 2 a 2 ac 2 3 c2 .
4. Chứng minh rằng:
x 2 6x 34 x2 6x 10 4, x R