Để giải một bài toán bất đẳng thức Đại số bằng phương pháp diện tích thơng thường người ta dựa vào các kiến thức sau:
1.Tính cộng được của diện tích.
2. Tích của hai số dương a, b có thể xem là diện tích của hình chữ nhật cạnh a, b.
3. Các cơng thức tính diện tích các hình.
4. Các bất đẳng thức có được nhờ suy trực tiếp từ các cơng thức tính diện tích của chúng.
Ví dụ: Trong tam giác ABC, S1
ABC
hoặc S abc ( a b c)2
Và một điều đặc biệt cần quan tâm khi giải quyết các bài tốn bằng diện tích là khả năng tách nhập các hình một cách linh hoạt và sáng tạo.
Bài toán 14: Cho a,b,c 0 và a c,b c. Chứng minh rằng: (a c )c (b c )c ab
Lời giải:
Bài tốn này có rất nhiều cách giải với những cách nhìn nhận khác nhau. Ở đây, chúng ta xem xét cách giải ”đượm màu sắc Hình học”.
Ta có thể xem số hạng đầu bằng hai lần diện tích tam giác vng cạch c , a c , số hạng thứ hai bằng hai lần diện tích tam giác vng cạnh c , b c . (Với giả thiết bài tốn ta hồn tồn có thể dựng được hai tam giác vng như vậy).
Ta có: (a c )c (b c )c 2SABC Từ đó suy ra:
Dấu ”=” xảy ra sinC = 1 tức C = 900.
ABC vuông tại C1 1
Bài toán 15: Chứng minh rằng nếu 0 < a, b, c < 1 thì:
a(1 – c) + b(1 – a) + c(1- b) < 1
Lời giải:
Vẽ tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy các điểm M, N, P sao cho AM = a, BN = b, CP = c. Vì a, b, c thuộc khoảng (0; 1) nên ta được diện tích tam giác MNP dương. A
M P B C N Do đó: S S AMP 12 AM .AN.sin A 1 2 BN.BM .sin B 1 2 CP.CN.sin C 1 2 AB.AC.sin A 27
43 AM .AN 43 BN.BM 43 CP.CN 4 3 a(1 – c) + b(1 – a) + c(1- b) < 1
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tốn 16: Cho x, y, z dương thỏa mãn hệ thức: xyz(x y z) 1
Chứng minh rằng: (x y)(x y) 2
Lời giải:
Vì x, y, z dương nên ta có thể dựng được ABC với độ dài 3 cạnh là:
AB x y, AC x z và BC y z (tam giác này hiển
nhiên tồn tại)
Khi đó nếu gọi p là chu vi tam giác ABC, thì p = x + y + z.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc ba cạnh AB, AC, BC lần lượt tại K, F,
E thì: AK = AF = x, BK = BE = y, CE = CF = z.
Ta có: S1 AB.AC.sin A 1
ABC
Mặt khác ta có: SABC
Từ (11’) và (11’’) ta có : (x y)(x z) 2
Dấu ”=” xảy ra dấu ”=” trong (25) xảy ra A = 900.
( y z)2 ( x y)2 ( x z)2yz xy xz x2
Bài tập:
1. Cho tam giác
ABC. CMR: 1 1 1 1 1 1
. la lb lc a b c
2. Cho tam giác ABC. CMR: rra 1
28
3. Cho tam giác ABC có góc A tù hoặc vng. CMR: 2 r 1 .
4. Cho bốn số thực dương x, y, z, t. Chứng minh rằng:
(x2 z2 )( y2 z2 ) (x2 t 2 )( y2 t 2 ) ( x y(z t). 5. Chứng minh rằng:
0,785n2 n n2 1n2 22 ... n2 ( n2 1)2