MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì: + MA = MB
+ MO là phân giác của gĩc AMB + OM là phân giác của gĩc AOB
- Tiếp tuyến chung của hai đờng trịn: là đ-
ờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng trịn đĩ:
Tiếp tuyến chung ngồi Tiếp tuyến chung trong
6. Gĩc với đờng trịn
Loại gĩc Hình vẽ Cơng thức tính số đo
1. Gĩc ở tâm ãAOB sd AB= ằ 2. Gĩc nội tiếp ã 1 ằ 2 AMB= sd AB 53 B O A M d' d O' O d' d O' O B A O M B A O
3. Gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung. xBAã =12sd ABằ
4. Gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đ- ờng trịn ã ằ ằ 1 ( ) 2 AMB= sd AB sdCD+ 5. Gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đ- ờng trịn ãAMB= 12(sd AB sdCDằ − ằ ) Chú ý: Trong một đờng trịn
- Các gĩc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau - Các gĩc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau - Các gĩc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Gĩc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 cĩ số đo bằng nửa số đo của gĩc ở tâm cùng chắn một cung.
- Gĩc nội tiếp chắn nửa đờng trịn là gĩc vuơng và ngợc lại gĩc vuơng nội tiếp thì chắn nửa đờng trịn.
- Gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
7. Độ dài đờng trịn - Độ dài cung trịn.
- Độ dài đờng trịn bán kính R: C = 2πR = πd - Độ dài cung trịn n0 bán kính R :
180
Rn l=π
8. Diện tích hình trịn - Diện tích hình quạt trịn
- Diện tích hình trịn: S = πR2
- Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cong n0: 2 360 2
R n lR S =π =
9. Các loại đờng trịnĐờng trịn ngoại tiếp Đờng trịn ngoại tiếp
tam giác Đờng trịn nội tiếptam giác Đờng trịn bàng tiếp tam giác
x B A O M D C B A O O B A D C M
Tâm đờng trịn là giao của ba đờng trung trực
của tam giác ba đờng phân giác trong củaTâm đờng trịn là giao của
tam giác Tâm của đờng trịn bàngtiếp trong gĩc A là giao điểm của hai đờng phân giác các gĩc ngồi tại B hoặc C hoặc là giao điểm của đờng phân giác gĩc A
và đờng phân giác ngồi tại B (hoặc C)
10. Các loại hình khơng gian.
a. Hình trụ.
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrh - Diện tích tồn phần: Stp = 2πrh + πr2
- Thể tích hình trụ: V = Sh = πr2h
b. Hình nĩn:
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrl - Diện tích tồn phần: Stp = 2πrl + πr2
- Thể tích hình trụ: V = 1 2 r 3 π h
c. Hình nĩn cụt:
- Diện tích xung quanh: Sxq = π(r1 + r2)l - Thể tích: V = 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 3πh r + +r r r d. Hình cầu. - Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 = πd - Thể tích hình cầu: V = 4 3 3πR
11. Tứ giác nội tiếp:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác cĩ tổng hai gĩc đối bằng 1800
- Tứ giác cĩ gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc trong của đỉnh đối diện - Tứ giác cĩ 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác cĩ hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới một gĩc α.
B. các dạng bài tập.
Dạng 1: Chứng minh hai gĩc bằng nhau. Cách chứng minh: - Chứng minh hai gĩc cùng bằng gĩc thứ ba 55 O C B A O C B A F E J B C A r: bán kính Trong đĩ h: chiều cao r: bán kính Trong đĩ l: đờng sinh h: chiều cao r1: bán kính dáy lớn r2: bán kính đáy nhỏ Trong đĩ l: đờng sinh h: chiều cao R: bán kính Trong đĩ d: đờng kính
- Chứng minh hai gĩc bằng với hai gĩc bằng nhau khác
- Hai gĩc bằng tổng hoặc hiệu của hai gĩc theo thứ tự đơi một bằng nhau - Hai gĩc cùng phụ (hoặc cùng bù) với gĩc thứ ba
- Hai gĩc cùng nhọn hoặc cùng tù cĩ các cạnh đơi một song song hoặc vuơng gĩc - Hai gĩc ĩ le trong, so le ngồi hoặc đồng vị
- Hai gĩc ở vị trí đối đỉnh
- Hai gĩc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều
- Hai gĩc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng
- Hai gĩc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba - Hai cạnh của mmột tam giác cân hoặc tam giác đều - Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuơng) - Hai cạnh bên của hình thang cân
- Hai dây trơng hai cung bằng nhau trong một đờng trịn hoặc hai đờng bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đờng thẳng song song Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuơng gĩc với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai gĩc bằng nhau:
+ ở vị trí so le trong + ở vị trí so le ngồi + ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng trịn - Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành
Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuơng gĩc Cách chứng minh:
- Chúng song song song song với hai đờng thẳng vuơng gĩc khác. - Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác.
- Đờng kính đi qua trung điểm dây và dây. - Chúng là phân giác của hai gĩc kề bù nhau.
Dạng 4: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy. Cách chứng minh:
- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngồi của hai gĩc kia)
- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.
Dạng 5: Chứng minh hai tam giác bằng nhau Cách chứng minh:
* Hai tam giác thờng:
- Trờng hợp cạnh - gĩc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuơng:
- Cĩ cạnh huyền và một gĩc nhọn bằng nhau
- Cĩ cạnh huyền bằng nhau và một cạnh gĩc vuơng bằng nhau - Cạnh gĩc vuơng đơi một bằng nhau
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Cách chứng minh:
* Hai tam giác thờng:
- Cĩ hai gĩc bằng nhau đơi một
- Cĩ một gĩc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ - Cĩ ba cạnh tơng ứng tỷ lệ
* Hai tam giác vuơng:
- Cĩ một gĩc nhọn bằng nhau
- Cĩ hai cạnh gĩc vuơng tơng ứng tỷ lệ
Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh:
Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: ∆MAC ∼∆MDB hoặc ∆MAD ∼∆MCB
- Nếu 5 điểm M, A, B, C, D cúng nằm trên một đờng thẳng thì phải chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tức là ta chứng minh: ∆MAE ∼∆MFB ∆MCE ∼∆MFD → MA.MB = MC.MD
* Trờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh ∆MTA ∼∆MBT
Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp Cách chứng minh:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác cĩ tổng hai gĩc đối bằng 1800
- Tứ giác cĩ gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc trong của đỉnh đối diện - Tứ giác cĩ 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác cĩ hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới một gĩc α.
Dạng 9: Chứng minh MT là tiếp tuyến của đờng trịn (O;R) Cách chứng minh:
- Chứng minh OT ⊥ MT tại T ∈ (O;R)
- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bằng bán kính - Dùng gĩc nội tiếp.
Dạng 10: Các bài tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn gĩc
Cách tính:
- Dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuơng. - Dựa vào tỷ số lợng giác
- Dựa vào hệ thức giữa cạnh và gĩc trong tam giác vuơng - Dựa vào cơng thức tính độ dài, diện tích, thể tích...