2 Ứng dụng nguyên lý Carpets vào giải một số bài toán hình
2.3.1 Chứng minh √
2 là số vô tỉ
Hiện này có rất nhiều cách để chứng minh √
2 là số vô tỉ. Trong [5] trình bày 29 cách chứng minh khác nhau. Một trong số đó có dùng nguyên lý trải thảm. Sau đây, luận văn trình bày một số cách chứng minh cơ bản để so sánh giữa các cách. Cách 1. Giả sử phản chứng rằng √ 2 = m n, trong đó (m, n) = 1 hay n là mẫu số nhỏ nhất có tính chất trên. Ta có m > n và n > m−n. Mặt khác 2n−m m −n = 2− mn m n −1 = 2−√2 √ 2−1 = (2−√2)(√ 2 + 1) =√ 2. Hay √ 2 = 2n−m
m−n . Nhưng điều này mâu thuẫn với n là mẫu số nhỏ nhất có tính chất √ 2 = m n. Chứng tỏ √ 2 là số vô tỉ. Cách 2. Giả sử phản chứng rằng √ 2 = m n, trong đó (m, n) = 1 hay n là mẫu số nhỏ nhất có tính chất trên. Ta có m > n và n > m−n. Mặt khác, từ 2n2 = m2 suy ra 4n2 −4mn+m2 = 2n2 −4mn+ 2m2 ⇔ (2n−m)2 = 2(m−n)2 ⇔ 2 = (2n−m)2 (m−n)2 ⇔ √2 = 2n−m m−n .
Điều này mâu thuẫn với n là mẫu số nhỏ nhất có tính chất √
2 = m n. Chứng tỏ √ 2 là số vô tỉ. Cách 3. Giả sử phản chứng rằng √ 2 = m n, trong đó m, n là số nguyên dương thỏa mãn (m, n) = 1 hay phân số là tối giảm. Vì m2 = 2n2 nên tồn tại hai hình vuông với cạnh nguyên m và n sao cho diện tích hình
vuông cạnh m bằng hai lần diện tích hình vuông cạnh n. Và m, n là các số nguyên nhỏ nhất có tính chất này. Xem Hình 2.21(a).
Hình 2.21: √
2 là số vô tỉ
Đặt hai hình vuông nhỏ vào trong hình vuông lớn như trong Hình 2.21(b). Độ dài cạnh của hình vuông màu trắng là m − n < n. Độ dài cạnh của hình vuông màu xám là 2n−m < m. Các hình vuông này cũng có độ dài cạnh nguyên bởi vì hiệu các số nguyên là số nguyên. Theo nguyên lý Carpets, diện tích của hình vuông màu xám bằng tổng diện tích của hai hình vuông màu trắng hay
2(m−n)2 = (2n−m)2 ⇔ √2 = 2n−m m−n .
Mẫu thuẫn vớim và n là các số nguyên nhỏ nhất có tính chất √
2 = m/n. Chứng tỏ √
2 là số vô tỉ.
Edwin Halfar (Am Math Monthly, Vol. 62, No. 6 (1955), p. 437) đã trình bày một cách chứng minh dựa trên ý tưởng tương tự Cách 1 như sau.
Cách 4. Giả sử √
2 = n
m, trong đó n, m nguyên dương. Khi đó n > m và tồn tại số nguyên p > 0 sao cho n = m+p và
2m2 = n2 = (m+ p)2 = m2 + 2mp+p2 ⇒m2 = p2 + 2mp.
Điều này kéo theo m > p. Do đó, tồn tại số nguyên a > 0, a < m sao cho m = p+a, và n = m+p = p+a+p= 2p+a.
Từ 2m2 = n2 suy ra
⇔ 2p2 + 4pa+ 2a2 = 4p2 + 4pa+a2 ⇔ a2 = 2p2.
Do đó, ta có thể lặp lại toàn bộ quá trình này vô hạn lần và được n > m > p > a > · · · ,
nhưng vì mọi tập số nguyên dương khác rỗng có phần tử nhỏ nhất nên quá trình trên không thể lặp lại vô hạn lần, mâu thuẫn này chứng tỏ √
2 là số vô tỉ.
Chứng minh của Edwin Halfar khẳng định rằng cho hai hình vuông với các cạnh nguyên sao cho một hình có diện tích bằng hai lần diện tích hình còn lại, khi đó tồn tại một cặp hình vuông nhỏ hơn có cùng tính chất như trên. Ta có thể áp dụng nguyên lý Carpets minh họa cho chứng minh của Edwin Halfar như sau
Cách 5. Cho hai hình vuông với cạnh nguyên, một hình có diện tích bằng hai hình còn lại.
Di chuyển hai hình vuông nhỏ
Phần giao nhau giữa hình vuông nhỏ là một hình vuông (hình màu đỏ) ở giữa hình vuông lớn. Hình vuông lớn trừ đi hợp của hai hình vuông nhỏ tạo thành hai hình vuông nhỏ (màu xanh) ở hai góc của hình vuông lớn. Theo nguyên lý Carpets 2, ta có diện tích của hình vuông màu đỏ bằng tổng diện tích của hai hình vuông màu xanh.
Hiển nhiên các hình vuông này có cạnh nguyên bởi vì các hình vuông ban đầu có cạnh nguyên, hiệu các số nguyên là số nguyên. Ta có thể lặp lại toàn bộ quá trình này vô hạn lần. Nhưng vì mọi tập số nguyên dương khác rỗng có phần tử nhỏ nhất nên quá trình trên không thể lặp lại vô hạn lần, mâu thuẫn này chứng tỏ không tồn tại hai hình vuông với cạnh nguyên, một hình có diện tích bằng hai lần hình còn lại. Hay tương đương √
2 là số vô tỉ. 2.3.2 Chứng minh √ 3 là số vô tỉ Tương tự, ta có thể chứng minh √ 3 là số vô tỉ bằng cách sử dụng các tam giác đều chồng lên nhau. Ký hiệu Ts = s2√
3/4 là diện tích của tam giác đều có độ dài cạnh là s. Giả sử phản chứng rằng √
3 là số hữu tỉ với √
3 = m/n là phân số tối giản. Khi đó m2 = 3n2, hay tương đương Tm = 3Tn. Ta có m > n > 0 và
Hình 2.22: √
3 là số vô tỉ
Chiều dài cạnh của tam giác nhỏ màu xám đậm trong Hình 2.22 là 2n−m. Khi đó, chiều dài cạnh của tam giác màu trắng ở giữa là
n−2(2n−m) = 2m−3n.
Vì Tm = 3Tn nên theo nguyên lý Carpets, phần chồng lên nhau của ba tấm thảm bằng phần trống của sàn hay diện tích của tam giác nhỏ màu trắng bằng ba lần diện tích tam giác nhỏ màu xám đậm. Suy ra
T2m−3n = 3T2n−m, hay tương đương
(2m−3n)2 = 3(2n−m)2. Do đó √
3 = (2m − 3n)/(2n − m), mẫu thuẫn với √
3 = m/n là phân số tối giản bởi vì tam giác nhỏ màu trắng nhỏ hơn tam giác cạnh m (0 < 2m −3n < m) và tam giác nhỏ màu xám nhỏ hơn tam giác cạnh n (0< 2n−m < n). Suy ra √
3 là số vô tỉ.