2 Ứng dụng nguyên lý Carpets vào giải một số bài toán hình
2.9 Diện tích phần màu hồng bằng phần màu vàng
Giải. Gọi đường tròn lớn làU. Giả sửU được chia theo hai cách như trong Hình 2.10:
U = S1 ∪S2 = T1 ∪T2, (trong đó S1 và T1 là hợp của hai đường tròn).
Vì diện tích của mỗi đường tròn nhỏ bằng một phần tư diện tích đường tròn lớn. Do đó
[T1] = [S2] = [U] 2 . Theo nguyên lý Carpets 3 (Định lý 1.2.8), ta có
[S1 ∩T1] = [S2 ∩ T2].
Hình 2.10: Diện tích phần màu hồng bằng phần màu vàng
Cách 2. Theo nguyên lý Carpets 2, nếu phủ kín sàn nhà bằng các tấm thảm thì khi di chuyển các tấm thảm kéo theo diện tích phần sàn nhà trống bằng diện tích bị chồng lên nhau. Vì tổng diện tích của bốn hình tròn nhỏ bằng diện tích của hình tròn lớn, áp dụng nguyên lý Carpets 2, phần không bị phủ bởi 4 tấm thảm có diện tích phần các tấm thảm chồng lên nhau.
Bài toán 2.2.7 ([5]). Giả sử AB và CD là hai dây cung song song trong đường tròn (O). GọiM và N là giao điểm của hai dây cung này với đường kính vuông góc với hai dây cung. Giả sử thêm rằng hai nửa đường tròn (AB) và (CD) tiếp xúc nhau tại P trên M N. Chứng minh diện tích của hai nửa đường tròn bằng một nửa diện tích của (O).
Giải. Đặt AB = 2a, CD = 2b thì a và b lần lượt là bán kính của (M) và (N). Khi đó, diện tích của (M) là πa2 và diện tích của (N) làπb2. Vì (M) và (N) tiếp xúc nhau tại P nên M N = a+b. Suy ra
M O+N O = a+b.
Ta có \AP B = CP D\ = 90◦ bởi vì chúng là góc chắn bởi đường kính. Tam giác ABP là tam giác vuông cân tại P nên \BAP = 45◦. Lại có góc
\
BAD = \BAP = 45◦ chắn bởi cung BD nên góc tại tâm O chắn bởi cung BD là BOD\ = 90◦. Từ đây, ta có hai góc M OB\ và N OD\ phụ nhau:
\
M OB +N OD\ = 90◦.
Mặt khác, vì BO = DO, suy ra tam giác vuông BM O và ON D bằng nhau. Nói cách khác
M O = DN = b và N O = M B = a.
Theo định lý Pythagoras, bán kính R của đường tròn (O) là R = √
a2 + b2 nên có diện tích
[(O)] = πR2 = π(a2 +b2) = πa2 + πb2 = [(M)] + [(N)].
Hay diện tích của (O) bằng tổng diện tích của hai đường tròn (M) và (N). Chứng tỏ tổng diện tích của hai nửa đường tròn (M) và (N). bằng một nửa diện tích hình tròn (O).
Hệ quả 2.2.8 ([5]). Cho ba hình tròn có vị trí như trong Hình 2.12, trong đó diện tích hình tròn lớn bằng tổng diện tích hai hình tròn nhỏ. Khi đó diện tích miền màu xám bằng tổng diện tích hai miền màu vàng.
Chứng minh. Vì diện tích đường tròn lớn bằng tổng diện tích của hai hình tròn nhỏ, theo nguyên lý Carpets, phần không đè lên nhau của hai tấm thảm có diện tích bằng nhau.