HƯỚNG DẪN GIẢ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYÉN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2018
HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 - 2019
Khĩa ngày:
(Đề thi cĩ 01 trang) Mơn thi: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút khơng kể thời gian phát đề
Bài 1. (2 điểm). Cho hai biểu thức 4 1 x A x + = − và 3 1 2 2 3 3 x B x x x + = − + − + , với 0, 1 x≥ x≠ .
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=9.
2) Chứng minh rằng 1 1 B x = − 3) Tìm tất cả các giá trị của x để 5 4 A x B ≥ + .
Bài 2. (2 điểm). Giāi bải toản sau bàng cách lập phurơng trình hoạc hệ phurơng trình Một mảnh đất hình chữ nhật cĩ chu vi bẳng 28m và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đĩ theo đơn vị mét.
Bài 3. ( 2 điểm). 1) Giải hệ phương trình 4 | 2 | 3 2 | 2 | 3 x y x y − + = + + = .
2) Cho đường thẳng d y: =(m+2)x+3 và parabol ( ) :P y x= 2.
a) Chứng minh rằng d luơn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Tìm tẩt cả các giá trị của m để d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ là các số nguyên.
Bài 4. (3.5 điểm). Cho đường trịn ( ; )O R với dây cung AB khơng đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kỳ trên tia đối của tia AB S( khác A). Từ điểm S vẽ hai tiểp tuyến SC SD, với đường trị̀n ( ; )O R sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB C D( , là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.
1) Chứng minh rằng năm điểm C D H O S, , , , thuộc đường trịn đường kính SO.
Đề Số 18
ZALO
2) Khi SO=2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và số đo CSD.
3) Đường thẳng đi qua A, song song với SC, cắt đường thẳng CD tại K. Chứng minh rằng tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điềm của đoạn thẳng SC.
4) Gọi E là trung điểm của đoạn BD và F là hình chiếu vuơng gĩc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng khi S thay đồi trên tia đối của tia AB thì điểm F
luơn thuộc một đường trịn cố định.
Bài 5. (0.5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 1− +x 1+ +x 2 x. ………HẾT………
HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ SỐ 18 : 2018-2019
Câu 1. Cho hai biểu thức 𝐴𝐴 =√𝑥𝑥+4
√𝑥𝑥−1 và 𝐴𝐴=𝑥𝑥+2√𝑥𝑥−33√𝑥𝑥+1 −√𝑥𝑥+32 với 𝑥𝑥 ⩾0,𝑥𝑥 ≠1. 1 Tính giá trị của biểu thức 𝐴𝐴 khi 𝑥𝑥 = 9.
2 Chứng minh 𝐴𝐴=√𝑥𝑥−11 . 3 Tìm tất cả giá trị của 𝑥𝑥 để 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⩾𝑥𝑥4+ 5. Lời giải. 1 Với 𝑥𝑥 = 9 ta cĩ 𝐴𝐴 =72. 2 Với 𝑥𝑥 ⩾0,𝑥𝑥 ≠1 ta cĩ 𝐴𝐴 = 3√𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥 −3− 2 √𝑥𝑥 + 3 = 3√𝑥𝑥+ 1 (√𝑥𝑥+ 3)(√𝑥𝑥 −1)− 2 √𝑥𝑥 + 3 =3√𝑥𝑥+ 1−2(√𝑥𝑥 −1) (√𝑥𝑥+ 3)(√𝑥𝑥 −1) = 1 √𝑥𝑥 −1. 3 Ta cĩ 𝐴𝐴𝐴𝐴 =√𝑥𝑥+4√𝑥𝑥−1:√𝑥𝑥−11 =√𝑥𝑥 + 4. ZALO : 0989488557
𝐴𝐴 𝐴𝐴 ⩾
𝑥𝑥
4+ 5⇔ 𝑥𝑥 −4√𝑥𝑥+ 4⩽0⇔ (√𝑥𝑥 −2)2 ⩽0⇔ 𝑥𝑥 = 4.
Câu 2. Một mảnh đất hình chữ nhật cĩ chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10
mét. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật theo đơn vị mét.
Lời giải.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lần lượt là 𝑥𝑥,𝑦𝑦(𝑥𝑥 ⩾ 𝑦𝑦 > 0). Chu vì của mảnh đất là 28 mét nên 𝑥𝑥+𝑦𝑦 = 14⇔ 𝑦𝑦 = 14− 𝑥𝑥. Độ dài đường chéo của mảnh đất là 10 mét nên
𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 = 100 ⇔ 𝑥𝑥2+ (14− 𝑥𝑥)2 = 100
⇔ 𝑥𝑥 = 8 hoặc 𝑥𝑥 = 6. Với 𝑥𝑥 = 8,𝑦𝑦 = 6 (thỏa mãn).
Với 𝑥𝑥 = 6,𝑦𝑦 = 8 (loại).
Vậy chiều dài của mảnh đất 8 mét, chiều rộng là 6 mét. Câu 3.
1 Giải hệ phương trình �4𝑥𝑥𝑥𝑥 −+ 2||𝑦𝑦𝑦𝑦+ 2| = 3+ 2| = 3
2 Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦, cho đường thẳng (𝑑𝑑):𝑦𝑦= (𝑚𝑚 + 2)𝑥𝑥+ 3 và parabol (𝑃𝑃):𝑦𝑦 =𝑥𝑥2.
a) Chứng minh (𝑑𝑑) luơn cất (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm tất cả giá trị của 𝑚𝑚 để (𝑑𝑑) cất (𝑃𝑃) tại hai điểm phān biệt cĩ các hồnh độ là các số nguyên.
Lời giải.
1 Ta cĩ
�4𝑥𝑥𝑥𝑥 −+ 2||𝑦𝑦𝑦𝑦+ 2| = 3+ 2| = 3⇔ �𝑥𝑥|𝑦𝑦+ 2(4+ 2| = 4𝑥𝑥 −𝑥𝑥 −3) = 33 ⇔ �𝑥𝑥|𝑦𝑦= 1+ 2| = 1⇔ �𝑥𝑥�𝑦𝑦= 1=−1 𝑦𝑦=−3 Vậy hệ phương trình cĩ hai nghiệm (1;−1) và (1;−3).
2)
a) Phương trình hồnh độ giao điểm
𝑥𝑥2 = (𝑚𝑚+ 2)𝑥𝑥 + 3⇔ 𝑥𝑥2−(𝑚𝑚+ 2)𝑥𝑥 −3 = 0
Ta cĩ Δ= (𝑚𝑚+ 2)2+ 12 > 0 với mọi 𝑚𝑚 nên (𝑑𝑑) luōn cất (𝑃𝑃) tại hai điểm phān biệt. b) Nếu 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 là hai nghiệm của phương trình (1) thì 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 là các hồnh độ của các giao
ZALO
điểm của (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃). Theo định lý Vi-ét ta cĩ 𝑥𝑥1⋅ 𝑥𝑥2 =−3. Khōng mất tổng quát giả sử
𝑥𝑥1 <𝑥𝑥2, khi đĩ ta cĩ các trường hợp. • 𝑥𝑥1 =−3 và 𝑥𝑥2 = 1⇒ 𝑚𝑚 =−4. • 𝑥𝑥1 =−1 và 𝑥𝑥2 = 3⇒ 𝑚𝑚 = 0.
Câu 4. Cho đường trịn (𝑂𝑂;𝑅𝑅) với dây cung 𝐴𝐴𝐴𝐴 khơng đi qua tām. Lấy 𝑆𝑆 là một điểm bất kì trên tia đối của tia 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑆𝑆 khác 𝐴𝐴). Từ điểm 𝑆𝑆 vẽ hai tiếp tuyến 𝑆𝑆𝐴𝐴,𝑆𝑆𝐷𝐷 với đường trịn (𝑂𝑂;𝑅𝑅) sao cho điểm 𝐴𝐴 nằm trên cung nhỏ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐴𝐴,𝐷𝐷 là các tiếp điểm). Gọi 𝐻𝐻 là trung điểm của đoạn thẳng 𝐴𝐴𝐴𝐴.
1 Chửng minh rằng năm điểm 𝐴𝐴,𝐷𝐷,𝐻𝐻,𝑂𝑂,𝑆𝑆 thuộc đường trị̀n đường kính 𝑆𝑆𝑂𝑂. 2 Khi 𝑆𝑆𝑂𝑂 = 2𝑅𝑅, hãy tính độ dài đoạn thẳng 𝑆𝑆𝐷𝐷 theo 𝑅𝑅 và tính số đo 𝐴𝐴𝑆𝑆𝐷𝐷�.
3 Đường thẳng đi qua điểm 𝐴𝐴 và song song với đường thẳng 𝑆𝑆𝐴𝐴, cắt đường thẳng
𝐴𝐴𝐷𝐷 tại 𝐾𝐾. Chứng mỉnh rằng tứ giác 𝐴𝐴𝐷𝐷𝐻𝐻𝐾𝐾 nội tiếp và đường thẳng 𝐴𝐴𝐾𝐾 đi qua trung điểm của đoạn thẳng 𝑆𝑆𝐴𝐴.
4 Gọi 𝐸𝐸 là trung điểm của đoạn thẳng 𝐴𝐴𝐷𝐷 và 𝐾𝐾 là hình chiếu vuơng gĩc của điểm 𝐸𝐸
trên đường thẳng 𝐴𝐴𝐷𝐷. Chứng minh rằng khi điểm 𝑆𝑆 thay đổi trên tia đối của tia 𝐴𝐴𝐴𝐴
thì điểm 𝐾𝐾 luơn thuộc một đường trịn cố định.
Lời giải.
1 Dễ thấy các gĩc 𝑆𝑆𝐴𝐴𝑂𝑂� ,𝑆𝑆𝐷𝐷𝑂𝑂�,𝑆𝑆𝐻𝐻𝑂𝑂� vuơng nển các điễm 𝑆𝑆,𝐴𝐴,𝐷𝐷,𝑂𝑂,𝐻𝐻 thuộc đường trịn đường kính 𝑆𝑆𝑂𝑂.
2 Ta cĩ 𝑆𝑆𝑂𝑂2 =𝑆𝑆𝐷𝐷2+𝐷𝐷𝑂𝑂2 ⇒ 𝑆𝑆𝐷𝐷2 = 4𝑅𝑅2− 𝑅𝑅2 = 3𝑅𝑅2. Suy ra 𝑆𝑆𝐷𝐷=𝑅𝑅√3. sin 𝐷𝐷𝑆𝑆𝑂𝑂� =𝐴𝐴𝑂𝑂𝑆𝑆𝑂𝑂 =12⇒ 𝐷𝐷𝑆𝑆𝑂𝑂� = 30∘ ⇒ 𝐴𝐴𝑆𝑆𝐷𝐷� = 60∘.
ZALO
3 Ta cĩ 𝑆𝑆,𝐷𝐷,𝑂𝑂,𝐻𝐻 cùng thuộc một đương trịn nên 𝑆𝑆𝐻𝐻𝑂𝑂𝐷𝐷 là tứ giác nội tiếp. Suy ra
𝐴𝐴𝐻𝐻𝐷𝐷� =𝑆𝑆𝑂𝑂𝐷𝐷� =12𝐴𝐴𝑂𝑂𝐷𝐷� (1). Mặt khác 𝐴𝐴𝐾𝐾𝐷𝐷� =𝑆𝑆𝐴𝐴𝐷𝐷� (đồng vị) nên 𝐴𝐴𝐾𝐾𝐷𝐷� =
1
2𝐴𝐴𝑂𝑂𝐷𝐷�(2). Từ (1) và (2) suy ra 𝐴𝐴𝐻𝐻𝐷𝐷� =𝐴𝐴𝐾𝐾𝐷𝐷� suy ra tứ giác 𝐴𝐴𝐷𝐷𝐻𝐻𝐾𝐾 nội tiếp. Gọi 𝑀𝑀 là giao điểm của 𝐴𝐴𝐾𝐾 và 𝑆𝑆𝐴𝐴,𝑁𝑁 là giao điểm của 𝐴𝐴𝐾𝐾,𝐴𝐴𝐴𝐴. Ta cĩ 𝐾𝐾𝐻𝐻𝐴𝐴� =
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑆𝑆� ⇒ 𝐻𝐻𝐾𝐾//𝐴𝐴𝐴𝐴 mà 𝐻𝐻 là trung điểm của 𝐴𝐴𝐴𝐴 nên 𝐾𝐾 là trung điểm của 𝐴𝐴𝑁𝑁. Suy ra
𝐴𝐴𝐾𝐾 =𝐾𝐾𝑁𝑁. Mặt khác 𝐴𝐴𝐼𝐼𝑆𝑆𝐴𝐴 =𝐼𝐼𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒ 𝑆𝑆𝑀𝑀 =𝐴𝐴𝑀𝑀.
4 Ta cĩ 𝐴𝐴𝑂𝑂𝐻𝐻� =12𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴� =𝐸𝐸𝐷𝐷𝐾𝐾� ⇒ 𝐾𝐾𝐸𝐸𝐷𝐷� =𝐻𝐻𝐴𝐴𝑂𝑂�;𝐴𝐴𝐾𝐾𝐸𝐸� =1
2𝐷𝐷𝐸𝐸𝐾𝐾� =12𝐻𝐻𝐴𝐴𝑂𝑂�. Suy ra
𝐴𝐴𝐾𝐾𝐷𝐷� =12𝐻𝐻𝐴𝐴𝑂𝑂� + 90∘. Cho nên 𝐴𝐴𝐾𝐾𝐴𝐴� = 180∘−12𝐻𝐻𝐴𝐴𝑂𝑂� −90∘ = 90∘−12𝐻𝐻𝐴𝐴𝑂𝑂�. Vậy
𝐾𝐾 nhìn 𝐴𝐴𝐴𝐴 dưới một gĩc khơng đổi.
Câu 5. Tìm giá trị nhō nhất của biểu thức 𝑃𝑃 =√1− 𝑥𝑥 +√1 +𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥.
Lời giải.
Điều kiện xác định: 0 ⩽ 𝑥𝑥 ⩽1.
Ta cĩ 𝑥𝑥 ⩾0 và 1− 𝑥𝑥 ⩾0 nên √1− 𝑥𝑥+√𝑥𝑥 ⩾ √1− 𝑥𝑥+𝑥𝑥 = 1, suy ra
𝑃𝑃=√1− 𝑥𝑥 +√1 +𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥 ⩾1 + 1 = 2. Dấu bằng xảy ra khi 𝑥𝑥 = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của 𝑃𝑃 là 2 khi 𝑥𝑥 = 0.
……….HẾT………..