Sau đõy là một số bài toỏn mà ỏp dụng BĐT AM – GM và cỏc bất đẳng thức phụ trờn chỳng ta cú thể giải được chỳng.
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực khụng õm thỡ:
Bài 2: Cho hai số thực khụng õm x,y. Chứng minh bất đẳng thức
Bài 3: cho hai số thực khụng õm x,y; gọi a và g lần lượt là trung bỡnh cộng và trung
bỡnh nhõn của hai số. Chứng minh rằng:
Bài 4 : Bốn số thực khụng õm x,y,z,t thỏa món điều kiện x + y + z + t = 1.
Chứng minh rằng:
Bài 5: Cho ba số thực khụng õm x, y, z. Chứng minh rằng:
70
Bài 6: Bốn số thực khụng õm x, y, z, w thỏa món x + y + z + w = 1
Tỡm giỏ trị lớn nhất của : f = 17xy + 18xz + 19 xw + 19 yz + 20yw + 21zw
Bài 7: Cho a,b,c là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng:
Bài 8: Cho a,b,c,d là cỏc số thực dương thỏa món a2 + b2 + c2 = 4. Chứng minh rằng:
Bài 9: Cho a,b,c là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng:
Bài 10: Cho a,b,c là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng
Bài 11: Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món điều kiện x + y + z = 1. Tỡm giỏ trị
nhỏ nhất của biểu thức A =
Bài 12: Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món điều kiện xyz = 1.
a/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B =
b/ Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: A =
Bài 13: Cho a, b, x, y, z > 0. và x + y + z = 1. Chứng minh rằng
Bài 14: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a/ (1 + a3)(1 + b3)(1 + c3) b/ (1 + a6)(1 + b3)2(1 + c2)3
c/ (1 + a4)(1 + b4)(1 + c4)(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) (1 + ab2)2(1 + bc2)2(1 + ca2)2
Bài 15: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
Bài 16: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
Bài 17: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
Bài 18: Cho a, b, c, > 0. Chứng minh rằng:
Bài 19: Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a/
b/
Bài 20: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
C. Kết luận:
Trờn đõy là một số dạng bài tập được khai thỏc từ một hằng đẳng thức đỏng nhớ và từ BĐT AM – GM cú nhiều ứng dụng trong sỏch giỏo khoa, sỏch tham khảo. Trong tất cả cỏc kỳ thi học sinh giỏi hầu hết đều cú sử dụng đến BĐT AM - GM. Nếu biết khai thỏc triệt để cỏc ứng dụng của BĐT AM – GM sẽ giỳp cho học sinh giải quyết cỏc bài tập về BĐT dễ dàng hơn.
Trong quỏ trỡnh bồi dưỡng học sinh giỏi chỳng ta cú thể hướng dẫn cỏc em cỏch khai thỏc bài tập cũng như xõy dựng cỏc bài toỏn mang tớnh tổng quỏt và cỏc bài toỏn liờn quan đến nú. Giỳp học sinh tiếp thu bài và sỏng tạo hơn trong lời giải.
72
Tụi và cỏc đồng nghiệp đó tiến hành bồi dưỡng HSG theo chuyờn đề trờn kể từ năm học 2006 – 2007 và chỳng tụi thu được kết quả như sau:
Năm học 2006 – 2007 2007 – 2008 2008 – 2009 2009 – 2010 2010 – 2011
Qua kết quả trờn, tụi nhận ra rằng tớnh ứng dụng của BĐT AM – GM trong cỏc bài toỏn chứng minh BĐT và tỡm cực trị rất cao. Khi HS nắm vững về BĐT AM – GM và cỏch khai thỏc cũng như tỡm tũi lời giải thỡ việc chứng minh một BĐT khụng cũn là quỏ khú.
Trong khi viết chuyờn đề “Sử dụng bất đẳng thức AM – GM trong cỏc bài toỏn chứng minh BĐT và tỡm cực trị” tụi khụng trỏnh khỏi những thiếu sút cũng như nội dung chuyờn đề chưa thực sự phong phỳ. Rất mong cỏc bạn đồng nghiệp và cỏc em học sinh đúng gúp thờm cỏc ý kiến để chuyờn đề hoàn thiện và cú hiệu quả hơn. Tụi xin chõn thành cỏm ơn.
Vĩnh Tường, ngày 25 thỏng 12 năm 2011 Người viết chuyờn đề
Trần Thị Phi Nga
73