tương tự và bài toỏn mới
Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức AM – GM chỳng ta lại xõy dựng được cỏc bất đẳng thức hay và khú dạng phõn thức mà cú nhiều ỏp dụng. Sử dụng cỏc bất đẳng thức này chỳng ta chứng minh được một số bất đẳng thức khú khỏc.
Bài toỏn 6. Với a, b, c là cỏc số thực dương, chứng minh rằng:
(13)
(Trớch đề thi giỏo viờn giỏi tỉnh Vĩnh Phỳc năm 2006-2007)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta cú
63
Suy ra
Chứng minh tương tự ta cú
Cộng theo vế của cỏc bất đẳng thức trờn ta cú
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Vậy ta cú
Nhận xột: Bất đẳng thức (13) là một bất đẳng thức khú với cỏch giải hay. Vận dụng cỏch giải và kết quả của bất đẳng thức này chỳng ta chứng minh được cỏc bất đẳng thức hệ quả sau:
Vớ dụ 14: Cho a, b, c >0 và , chứng minh rằng:
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta cú:
Suy ra
64
Chứng minh tương tự ta cú:
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trờn ta được:
Nhận xột:
Bất đẳng thức (13) là trường hợp trong bất đẳng thức vớ dụ 14. Bõy giờ ta chọn ta thu được bất đẳng thức khú sau:
Vớ dụ 15: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta cú:
Suy ra
Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta cú:
Vậy ta cú
65
Nhận xột: Từ cỏch chứng minh bất đẳng thức (13) ta cú . Nếu ta cộng thờm tớch .ab vào mẫu thức ở vế trỏi của bất đẳng thức trờn thỡ kết quả sẽ thay đổi như thế nào? Ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 7: Với và a, b là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta cú:
Vậy ta cú
Sử dụng kết quả này và bất đẳng thức (13) ta thu được bài toỏn sau:
Vớ dụ 16: Với a, b, c > 0 và , chứng minh rằng:
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức (14) ta cú:
Áp dụng bất đẳng thức (13) ta được:
Vậy ta cú:
Nếu cho ta cú bài toỏn sau:
Vớ dụ 17: Chứng minh rằng với a, b, c là cỏc số thực dương ta cú:
66
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta cú:
Vậy ta cú
Chứng minh tương tự ta cú: và
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trờn ta được
Áp dụng bất đẳng thức (13) ta cú
Vậy ta cú
Để cú bài toỏn khú hơn bài toỏn trờn ta cú thể cho ta cú bài toỏn:
Vớ dụ 18: Chứng minh rằng với a, b, c là cỏc số thực dương ta cú:
Nếu tiếp tục cho ta lại cú bài toỏn sau
Vớ dụ 19: Chứng minh rằng với a, b, c là cỏc số thực dương ta cú:
Mở rộng bất đẳng thức (13) ta thu được bất đẳng thức sau:
Vớ dụ 20: Với a, b, c là cỏc số dương, chứng minh rằng:
67
Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương và ba số dương ta cú
Suy ra:
Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta cú: Vậy ta cú điều phải chứng minh
Sử dụng kết quả vớ dụ 20 và xõy dựng tương tự bất đẳng thức (14) ta cú bài toỏn sau:
Vớ dụ 21: Với a, b, c và > 0. Chứng minh rằng:
Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta cú:
Suy ra
Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta được:
Vậy ta cú điều phài chứng minh:
68
Đến đõy ta cho = 1 thỡ ta cú bài toỏn:
Vớ dụ 22: Cho a, b, c là cỏc số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta cú:
Suy ra
Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta được:
Vậy ta cú điều phài chứng minh:
Tiếp tục cho ta cú bài toỏn sau:
Vớ dụ 23: Cho a, b, c là cỏc số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta cú:
Suy ra
69
hay ta cú
Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta được:
Vậy ta cú điều phài chứng minh.
Tiếp tục sử dụng cỏch giải bất đẳng thức (13) và xõy dựng tương tự trờn ta cú thể chứng minh được và đưa ra nhiều bài tập từ cỏc bất đẳng thức sau:
a/
b/