Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h, nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi ngời biết
rằng quãng đờng AB dài 30 km.
H
ớng dẫn cách giải:
- Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài tốn này tơi yêu cầu học sinh thiết lập bảng số liệu để từ đĩ thiết lập phơng trình, nhng các em gặp khĩ khăn khơng biết xe đạp thứ nhất hay xe đạp thứ hai chuyển động nhanh, chậm nên khơng điền đợc số liệu vào bảng số liệu.
- Tơi lu ý cho học sinh trong 2 xe đạp thì chắc chắn cĩ một xe đi nhanh và một xe đi chậm nên nếu gọi vận tốc của xe đi chậm là x thì hãy điền số liệu vào bảng số liệu trong bảng sau:
Xe đi chậm Xe đi nhanh Vận tốc (km/h) x (km/h) x+3 (km/h)
Thời gian ( h) 30
x (h) 30
3
x+ (h)
- Với gợi ý trên tơi cho học sinh thảo luận nhĩm sau 7 phút tơi kiểm tra kết quả của các nhĩm và đối chiếu kết quả trên máy chiếu.
- Căn cứ vào những gợi ý trên tơi gợi ý các em đã trình bày lời giải nh sau: Giải: Đổi: 30 phút = 1
2 (h)
Gọi vận tốc của xe đạp đi chậm là x (km/h) (điều kiện x > 0) thì vận tốc của xe đạp đi nhanh là x+3 (km/h)
Thời gian xe đạp đi chậm đi là 30
x (h), Thời gian xe đạp đi nhanh đi là 30
3
x+ (h)
30x - 30 x - 30 3 x+ = 1 2 ⇔ 30.2.(x+ −3) 30.2.x x x= .( +3) ⇔ 60x+180 60− x x= 2+3x ⇔ x2+3x−180 0= Ta cĩ: ∆ = −32 4.1. 180(− )= +9 720 729 0= > ⇒ ∆ = 729 27=
Phơng trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: 1 3 27 24 12 2.1 2 x =− + = = ; 2 3 27 30 15 2.1 2 x = − − = − = −
Nhận thấy x1=12 > 0 (thoả mãn điều kiện), x2 = − <15 0 (loại) Trả lời: Vận tốc của xe đạp đi chậm là 12 (km/h)
Vận tốc của của xe đạp đi nhanh là 12 + 3 = 15 (km/h)
2. Bài tập 2:
Hai ngời cùng làm chung một cơng việc trong 4 giờ thì xong. Nếu làm riêng thì ngời thứ nhất làm xong trớc ngời thức hai 6 giờ. Nếu làm riêng thì mỗi ngời làm trong bao nhiêi lâu xong cơng việc.
Giải:
Gọi thời gian ngời thứ nhất làm riêng xong cơng việc là x (ngày). thì thời gian nguời thứ hai làm riêng xong cơng việc là x + 6 (ngày) Một ngày ngời thứ nhất làm đợc 1
x (PCV). Một ngày nguời thứ hai làm đợc 1
6
x+ (PCV)
Theo bài ra cả 2 ngời làm chung trong 4 giờ thì xong nên 1 giờ thì cả 2 ngời làm đợc 1 4 (PCV) nên ta cĩ phơng trình: 1 x + 1 6 x+ = 1 4
Giải phơng trình này ta đợc x1 = 6 (thoả mãn) và x2 = - 12 (Loại)
Vậy ngời thứ nhất làmriêng trong 6 ngày và ngời thứ hai làm trong 12 ngày. ………
Buổi 11: Ơn phần tứ giác nội tiếp và các vấn đề liên quan.
Baứi 1: Cho ủửụứng troứn (O) coự baựn kớnh R vaứ dãy CD coự trung ủieồm laứ H. Trẽn tia ủụựi
cuỷa tia DC laỏy moọt ủieồm S . Tửứ ủieồm S veừ hai tieỏp tuyeỏn SA ,SB vụựi ủửụứng troứn (O)(A, B laứ tieỏp ủieồm)
a) Gói E laứ giao ủieồm cuỷa SO vaỉ AB, gói F laứ trung ủieồm cuỷa OH vaứ AB . CMR : tửự giaực EHFS laứ tửự giaực noọi tieỏp .
b) CMR : OH. OF =OE.OS= R2
c) Chửựng minh raống: khi S lửu ủoọng trẽn tia ủoỏi cuỷa tia DC thỡ ủửụứng thaống AB ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh.
d) Cho bieỏt SO = 3R vaứ CD = R 3 .Tớnh SF theo R HệễÙNG DẪN
a) Gói E laứ giao ủieồm cuỷa SO vaỉ AB, gói F laứ trung ủieồm cuỷa OH vaứ AB .
CMR : tửự giaực EHFS laứ tửự giaực noọi tieỏp . ã ã ã ã = ⇒ = ⇒ 0 0 0 0
FES 90 ( 2 ttuyeỏn caột nhau) a)
FHS = 90 ( ủ/ly ựủg kớnh vuõng goực dãy) FES FHS = 90
hai ủổnh E va ứH liẽn tieỏp cuứng nhỡn cánh FS dửụựi goực 90 Vaọy : tg EHFS noọi tieỏp trong ủửụứng troứn ủửụứng kớnh SF
b) CMR : OH. OF =OE.OS= R2
à
ã ã ã
Xeựt OEH va ứ OFS , ta coự : O chung
OEH OFS (cuứng bu ứvụựi HES)
∆ ∆
=
Vaọy : OEH OFS (g - g)∆ : ∆
OE OHOF OS OF OS
OH.OF OE.OS
⇒ =
⇒ =
c) Chửựng minh raống: khi S lửu ủoọng trẽn tia ủoỏi cuỷa tia DC thỡ ủửụứng thaống AB ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh.
Trong ∆OAS vuõng coự ủửụứng cao AE: OA2= OE. OS
⇒ OE. OS = R2⇒ OH. OF = R2
O, H coỏ ủũnh ⇒ OH khõng ủoồi ⇒ OF khõng ủoồi⇒ F coỏ ủũnh (vỡ naốm trẽn ủửụứng thaỳng OH coỏ ủũnh)
Vaọy: ủửụứng thaỳng AB luõn ủi qua ủieồm coỏ ủũnh F. d) Cho bieỏt SO = 3R vaứ CD = R 3 .Tớnh SF theo R
CD= R 3⇒ CD laứ cánh cuỷa tam giaực ủều noọi tieỏp (O) ⇒ OH = R2 OF= R2 2R
OH = vaứ OE R2 R2 R OS 3R 3
= = =
Trong ∆ vuõng OEF: EF2=OF2- OE2=…=35R2 EF R 35
9 ⇒ = 3
Trong ∆ vuõng SEF: SF2=EF2+ SE2=..=11R2⇒SF=R 11
Baứi 2:
Cho ∆ABC vuõng cãn tái A.; cánh AB = a 2, M laứ moọt ủieồm trẽn BC khaực B vaứ C. ủửụứng thaỳng vuõng goực vụựi BC tái M caột AC tái E vaứ caột AB tái D. DC caột BE tái F.
a) Chửựng minh: tửự giaực ACBF noọi tieỏp ủửụùc, xaực ủũnh tãm O cuỷa ủửụứng troứn ngoái tieỏp tửự giaực ACBF.
D S S F C H E O B A
DM M B C A I O E F
b) Chửựng minh: FD laứ phãn giaực cuỷa ãAFM.
c) Gói I laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa A qua BC. Chửựng minh: F; M; I thaống haứng. HệễÙNG DẪN
a) Chửựng minh ủửùục D laứ trửùc tãm cuỷa ∆ EBC vaứ suy ra BCAF laứ tửự giaực noọi tieỏp. Xaực ủũnh tãm O.
b) Chửựng minh ủửụùc FD laứ phãn giaực cuỷa ãAFM.
c) I ủoỏi xửựng vụựi A qua ủửụứng kớnh BC nẽn I thuoọc (O) ⇒ ãIFC IAC 45=ã = 0. Tửự giaực BMDF noọi tieỏp ⇒ãMFD MBD 45=ã = 0⇒ M; F; I thaỳng haứng.
Baứi 3:
Cho ABC coự ba goực nhón noọi tieỏp trong ủửụứng troứn (O,R) vaứ coự 2 ủửụứng cao AD , CE caột nhau tái H
a) CMR: caực tửự giaực ACDE vaứ BEHD laứ caực tửự giaực noọi tieỏp ủửụùc . b) ẹửụứng thaỳng AD caột ủửụứng troứn (O) tái K khaực A .CMR: HD = KD c) Gói M laứ trung ủieồm cuỷa ủoán BC. ẹửụứng thaỳng OM caột cung nhoỷ BC tái N.
CMR: BCNã =CANã
d) ẹửụứng thaỳng AN lần lửụùt caột caực ủửụứng thaỳng BH vaứ CH tái I vaứ J.
CMR: HIJ laứ cãn HệễÙNG DẪN M J E F O I H D K N C B A
j O F C K E I H B A
a) CMR: caực tửự giaực ACDE vaứ BEHD laứ caực tửự giaực noọi tieỏp ủửụùc .
Tửự giaực ACDE coự 2 goực ãAEC=ãADC= 900vaứ cuứng nhỡn cánh AC nẽn noọi tieỏp ủửụùc. Tửự giaực BEHD coự goực ủoỏi dieọn ãHEB=HDBã = 900 nẽn noọi tieỏp ủửụùc.
b) ẹửụứng thaỳng AD caột ủửụứng troứn (O) tái K khaực A . CMR: HD = KD ã ã ằ ã ã ã ã ã = = = =
Ta coự : BAK BCK(goực n/tieỏp cuứng chaộn BK) BAK BCE (tg ACDE n/tieỏp)
Nẽn : BCK BCE(cuứng BAK)
Tam giaực HCK coự CD laứ ủửụứng cao vửứa laứ phãn giaực nẽn laứ taqm giaực cãn tái C, cho ta HD = KD.
c) Gói M laứ trung ủieồm cuỷa ủoán BC. ẹửụứng thaỳng OM caột cung nhoỷ BC tái N.
CMR: BCNã =CANã
Vỡ OM ủi qua trung ủieồm M cuỷa dãy BC nẽn cuừng ủi qua trung ủieồm N cuỷa cung nhoỷ ằBC: ằBN CN=ằ
Ta coự: BCNã chaộn cung ằBC vaứ CANã chaộn cung ằCN , nẽn BCNã =CANã
d) ẹửụứng thaỳng AN lần lửụùt caột caực ủửụứng thaỳng BH vaứ CH tái I vaứ J. CMR: HIJ laứ cãn
BH caột AC tái F, BH ⊥ AC ( H laứ trửùc tãm cuỷa∆ ABC) Ta coự: ãHJI phú vụựi goực EAJã (∆AEJ vuõng tái E) Goực ãAIFphú vụựi goựcãIAF(∆AFJ vuõng tái E) Maứ : ãAIF =ãHIJ(ủủ)
Vaứ : ãEAJ =IAFã (N laứ trung ủieồm cung ằBC) Nẽn: ãHIJ =HJIã
Vaọy: ∆HIJ cãn tái H.
Baứi 4( H ớng dẫn về nhà)
cho tam giaực ABC vuõng tái A. ủửụứng cao AH. Veừ ủửụứng troứn tãm I ủửụứng kớnh BH caột AB tái E vaứ ủửụứng troứn tãm K ủửụứng kớnh CH caột AC tái F. Chửựng minh raống:
a) AH = EF.
b) Tửự giaực BCFE noọi tieỏp.
c) EF laứ tieỏp tuyeỏn chung cuỷa (I) vaứ (K). d) EF3= EB.BC.CF.
HệễÙNG DẪN
a) Chửựng minh AEHF laứ hỡnh chửỷ nhaọt vaứ suy ra AH = EF.
b) Chửựng minh BCFE laứ tửự giaực noọi tieỏp.
c) Vụựi AH caột EF tái O. chửựng minh hai tam giaực IEO vaứ IHO baống nhau suy ra: EF⊥⊥EI
Tửụng tửù : EF⊥ FK suy ra tieỏp tuyeỏn chung cuỷa (I) vaứ(K) d) Ta coự AH2 = BH. CH ⇒ AH4= BH2.CH2
Maứ: BH2= BE.BA vaứ CH2= CF. CA ⇒ AH4= BE.BA . CF. CA= BE.CF.AH.BC AH3 = BE.CF. BC EF3= BE.CF.BC
Buổi 12 : Hệ thức VI-ET và ứng dụng
1.GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆMCỦA PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI