Xét bài toán tối ƣu tổ hợp (TƢTH) tổng quát dƣới dạng bài toán cực tiểu hoá , trong đó là tập hữu hạn trạng thái, là hàm mục tiêu xác định trên còn là các ràng buộc để xác định qua các thành phần của tập hữu hạn và các liên kết của tập này. Các tập và có các đặc tính sau.
1) Ký hiệu là tập các xâu trong độ dài không quá
, khi đó mỗi phƣơng án s trong S đƣợc xác định nhờ ít nhất một xâu trong X nhƣ ở điểm 2.
2) Tồn tại tập con của và ánh xạ từ lên sao cho không rỗng với mọi . Trong đó tập có thể xây dựng đƣợc từ tập con nào đó của nhờ mở rộng tuần tự dƣới đây.
3) Từ mở rộng đƣợc thành theo thủ tục tuần tự: i) là mở rộng đƣợc với mọi
ii) Nếu là mở rộng đƣợc thì từ các ràng buộc xác định đƣợc tập con của sao cho với mọi để
là mở rộng đƣợc hoặc khi là rỗng.
iii) Với mọi , thủ tục mở rộng nêu trên xây dựng đƣợc mọi phần tử của .
Mỗi bài toán TƢTH đƣợc xem nhƣ một bài toán tìm kiếm xâu độ dài không quá h trên đồ thị đầy có các đỉnh có nhãn trong tập C. Để tìm các lời giải chấp nhận đƣợc, ta xây dựng đồ thị đầy với tập đỉnh mà mỗi đỉnh của nó tƣơng ứng với mỗi thành phần của Các lời giải chấp nhận đƣợc sẽ là các xâu đƣợc tìm theo thủ tục tuần tự hay là bƣớc ngẫu nhiên nhƣ mô tả chi tiết trong mục 3.2.2.
Thông thƣờng, đối với các bài toán thuộc loại NP-khó, ngƣời ta có các phƣơng pháp heuristic để tìm lời giải đủ tốt cho bài toán. Các thuật toán ACO kết hợp thông tin heuristic này với phƣơng pháp học tăng cƣờng nhờ mô phỏng hành vi của đàn kiến để tìm lời giải tốt hơn.
Giả sử với mỗi cạnh nối các đỉnh có trọng số heuristic để định hƣớng chọn thành phần mở rộng là khi thành phần cuối của là theo thủ tục tuần tự nêu trên . Ký hiệu H là vectơ các trọng số heuristic của cạnh tƣơng ứng (trong bài toán TSP nó có thể là vectơ mà thành phần là nghịch đảo độ dài của cạnh tƣơng ứng), còn là vectơ biểu thị các thông tin học tăng cƣờng ( về sau gọi là vết mùi, ban đầu đƣợc khởi tạo bằng >0) định hƣớng mở rộng với thành phần cuối là i nhờ thêm thành phần j theo thủ tục tuần tự. Trƣờng hợp đặc biệt, và chỉ phụ thuộc vào j thì các thông tin này chỉ để ở các đỉnh tƣơng ứng. Không giảm tổng quát, ta sẽ xét cho trƣờng hợp các thong tin này ở các cạnh.
Khi đó ta gọi đồ thị là đồ thị cấu trúc của bài toán tối ƣu tổ hợp đang xét, trong đó V là tập đỉnh, H và là các thông tin đã nói ở trên còn E là tập cạnh nào đó của đồ thị sao cho từ các cạnh này có thể xây dựng đƣợc tập X* nhờ mở rộng tập theo thủ tục tuần tự. Nếu không có thông tin heuristics thì ta xem H có các thành phần nhƣ nhau và bằng 1.
Trƣờng hợp tổng quát, G là đồ thị đầy, tuy nhiên tùy theo ràng buộc của bài toán mà các cạnh có thể giảm bớt để giảm miền tìm kiếm lời giải theo thủ tục tuần tự. Chẳng hạn, với bài toán tìm cực trị của hàm giải tích f(x1,…,xn) trong đó xi thuộc tập giá trị hữu hạn Vi thì đồ thị cấu trúc có tập đỉnh V=⋃ , các đỉnh phân bố thành tầng và tầng chứa các đỉnh thuộc tập Vi còn tập cạnh chỉ gồm các cạnh nối các đỉnh thuộc tầng với các đỉnh thuộc tầng ( ) nhƣ trong hình 3.3. Khi đó tập C0 là tập V1, mỗi lời giải tuần tự sẽ đƣợc mở rộng từ một đỉnh thuộc tập này.
Hình 2.3.Đồ thị cấu trúc tổng quát cho bài toán cực tri hàm f(x1,…xn)
Với đồ thị cấu trúc đã xác định, thuật toán ACO tƣơng ứng thực hiện theo lƣợc đồ dƣới đây.