Phương pháp tương quan chéo cổ điển

8. Cấu trúc luận án

3.3.1 Phương pháp tương quan chéo cổ điển

Một cách tiếp cận truyền thống với bài tốn tìm giá trị tối ưu, là sử dụng tiêu chí sai số bình phương trung bình tối thiểu (minimum mean square error - MMSE), hàm phí tổn cần được tối thiểu hĩa là:

̂̃

(do các quá trình s(t) và q1(t) là độc lập với nhau, nên

̂̃ }

Tương tự:

{

Thay (3.33), (3.34) và (3.35) vào (3.32) thu được:

Theo hệ phương trình (3.39), thời gian trễ ước lượng được xác định là tham số

để hàm tương quan chéo ̃ đạt giá trị cực đại. Như ta đã biết, theo mục 2.3, hàm tương quan chéo Rss (η) đạt cực đại tại τ = 0, hay nĩi cách khác, lời giải cho phương trình (3.39) cĩ được tại ̂ . Do đĩ, phương pháp sử dụng tiêu chí sai

số bình phương tối thiểu (MMSE) trong trường hợp này cịn được gọi là phương pháp ước lượng thời gian trễ bằng hàm tương quan chéo (tiếng Anh: Cross- correlation function – CCF).

Tuy nhiên trong thực tế hàm tương quan chéo cách ước lượng với giá trị được ký hiệu

được xác định một cách ước lượng là

khoảng thời gian xác định. Vì vậy, việc ước lượng ̂

với ; và câu hỏi đặt ra ở đây là làm cách nào xác đinh được độ khơng đảm bảo đo đối với giá trị ước lượng ̂ trong phương pháp MMSE này.

Một trong các cách tiếp cận lời giải bài tốn nĩi trên, dựa vào tính chất giới hạn băng tần của tín hiệu cảm biến PIR. Như theo cơng thức (2.19), dải băng tần tín hiệu đầu ra của cảm biến PIR giới hạn trên [30]. Gọi B là băng tần giới hạn của tín hiệu đầu ra của các mơ-đun cảm biến PIR.

Theo [40], mật độ phổ cơng suất một phía và hàm tự tương quan của tín hiệu

s(t) được biểu thị bằng:

{

( )

Trong ứng dụng thực tế, các ước lượng của hàm tương quan chéo Rr1r2(η)

được xác định để thực hiện các tín hiệu r1(t) và r2 (t) với tổng độ dài hữu hạn Ttotal. Một cơng cụ ước tính tương quan chéo liên tục cĩ thể được biểu thị bằng mối quan hệ sau:

̂̂ ∫

Theo đĩ, phương sai của ước lượng cho giá trị tương quan chéo ̂ tại

η

= η0, được xác định [57]:

( ̂ )

Đẳng thức (3.43) đúng trong các trường hợp Ttotal ≥10 |η| và BTtotal≥

Trong các phương pháp phân tích kỹ thuật số, cĩ thể coi [57]

với ; int – phần nguyên, Δt – chu kỳ lấy mẫu tín hiệu.

Và trong phân tích kỹ thuật số, việc ước lượng ̂ được viết lại như sau:

trong cơng thức (3.44)

̂̂

ở đây, và

r2(t).

Theo đĩ, cơng thức (3.45) được viết lại là:

( ̂

Mặt khác, theo [40], với điều kiện giới hạn băng tần ở cơng thức (3.40), (3.41); phương sai đối với ước lượng

[ ̂

Suy ra:

Thay (3.45) vào (3.47)

(3.50) Thay vào (3.48):

√ [ (( )( ) )]

Trong đĩ SNR1, SNR2 là tỷ số tín hiệu/nhiễu của hai tín hiệu r1(t), r2(t) tương ứng.

Nếu coi SNR1 = SNR2=SNR, thì:

√ *( ) +

Độ khơng đảm bảo đo được xác định:

√ *( ) +

Phương pháp tương quan chéo kết hợp biến đổi Hilbert

Biến đổi Hilbert áp dụng cho một tín hiệu thực x(t) đưa ra một tín hiệu thực ̂̃ theo định nghĩa:

̂̃ ∫

Các mối quan hệ sau đây đúng với các hàm tự tương quan trong đĩ áp dụng biến đổi Hilbert [40]:

̂̃̃ ̃̃ ̂̃̃ ̃̃ ̂̃ ̃ ̃ ̂̃ ̃ ̃ ̂̃ ̃ ̂̃ 66

̂̃

̃ ̃

̂̃ ̃

Đối với các tín hiệu r1(t), r2(t) và s(t) từ mơ hình tốn học (3.32):

̂̃ ( )

̂̃ ̃

Khi xác định độ trễ thời gian vận chuyển s0, vị trí tối đa của hàm tương quan chéo CCF (3.39) được thay thế bằng tìm kiếm đối số CCFHT mà hàm (3.65) đi qua qua giá trị 0 (hình 3.4)

Tương tự đối với hàm tương quan , trong các ứng dụng thực tế, giá trị

của hàm ̃ được xác định trong một khoảng thời gian quan sát với các tín

hiệu đầu ra đã được lấy mẫu và lượng tử hĩa. Phương sai của phép ước lượng này tại η=η0 được xác định như sau:

Theo (3.54),

Theo [45], mối quan hệ giữa phương sai ước lượng ̃

ước lượng τ0 được mơ tả: ̂̃

Suy ra

̂̃

Thay (3.64) vào (3.65) và chú ý

( )

( )

Nếu coi SNR1 = SNR2 = SNR, thì:

( )

Độ khơng đảm bảo đo được xác định:

( )

So sánh kết quả thu được từ (3.52) và (3.72) thu được

√ ( ) (( ) ) Và: √ ( ) (( ) )

Nhận thấy, từ các cơng thức (3.52), (3.53), (3.71), (3.74) xác định phương sai ước lượng thời gian trễ bằng phương pháp tương quan chéo cổ điển và phương pháp tương quan chéo kết hợp biến đổi Hilbert, độ khơng đảm bảo đo thời gian trễ giữa hai tín hiệu phụ thuộc vào các yếu tố sau:

- Dải tần làm việc B của mơ-đun cảm biến hồng ngoại PIR.

- Giá trị Ntotal – Thể hiện độ rộng tín hiệu được quan sát và tần số lấy mẫu của hệ thống.

- Giá trị SNR – tỷ lệ tín hiệu/ nhiễu của từng mơ-đun cảm biến hồng ngoại PIR.

3.3.3 Ứng dụng biến đổi Fourier cho các đánh giá tương quan

Trong mục này, tác giả đề cập đến việc xác định tương quan chéo của hai tín hiệu đầu ra của hai mơ-đun cảm biến cũng như biến đổi Hilbert của tương quan chéo này, bằng việc áp dụng biến đổi Fourier. Nếu việc này khả thi, chúng ta sẽ thu được một hướng tiếp cận nhằm giảm khối lượng tính tốn cũng như loại bỏ được các yếu tố nhiễu trong tín hiệu xuất hiện ở các tần số cao khơng mong muốn.

Đối với việc xác định tương quan chéo giữa hai tín hiệu đầu ra của hai mơ-đun cảm biến, các phép tính thực hiện trên miền thời gian rời rạc:

∑

Với rj[m] – là giá trị lấy mẫu tại một điểm thời gian rời rạc, N – độ rộng (số lượng các điểm lấy mẫu) của một cửa sổ quan sát. Để thực hiện kết quả phép tính (3.75) với n chạy từ -(N-1) đến +(N-1), cần một lượng phép tính tương đương N2. Phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT) cĩ thể được sử dụng để tính f[n], dẫn đến số lượng phép tính cần thiết ít hơn đáng kể. Phương pháp được mơ tả trong các đoạn sau.

Đặt:

Ta cĩ thể viết g[n] như sau:

∑

ở đây, - ký hiệu phép nhân chập.

Khi đĩ, dựa trên tính chất của biến đổi rời rạc Fourier:

Với G, X1, X2 là kết quả biến đổi rời rạc Fourier của các hàm g[n], x1[n], x2[n]

tương ứng. Phép biến đổi rời rạc Fourier biến đổi một hàm x[n] trong miền thời gian thành hàm X[k] trong miền tần số:

∑

Chúng ta cĩ thể sử dụng quan hệ trong (3.77) để thu được g[n] nếu chúng ta chèn các tín hiệu ban đầu x1[n] và x2[n] với các số khơng cĩ độ dài bằng hoặc lớn hơn độ dài dự kiến của tích chập tuyến tính (2N - 1). Do đĩ, nếu chúng ta xác định:

{

{

Theo đĩ:

( )

Tương tự, với phép biến đổi Hilbert trong miền thời gian rời rạc:

∑ ̂̃

với ̃ là kết quả biến đổi Hilbert rời rạc của r2[n], được xác định bởi:

̂̃ ∑

Theo đĩ, nếu chúng ta xác định:

{ ̂̃ {̃ ̃

Tương tự như phân tích ở trên:

( ̃ )

Mặt khác, ta lại cĩ:

̂̃∑

trong đĩ y2[n] được xác định ở cơng thức (3.78) và cĩ kết quả biến đổi DFT:

Ta cĩ: ̂̃

Theo đĩ kết quả biến đổi Fourier của fH[n], được xác định thơng qua các phép biến đổi Fourier của y1 [n] và y2 [n], cụ thể:

(( ) )

Từ các cơng thức (3.80) và (3.87) thể hiện các kết quả áp dụng biến đổi Fourier phục vụ cho việc tính tốn các kết quả của tương quan chéo và biến đổi Hilbert. Trong ứng dụng thực tế, khi chọn khoảng thời gian quan sát ứng với số điểm lấy mẫu là một lũy thừa bậc 2 của một số tự nhiên N = 2p, biến đổi Fourier rời rác cĩ thể được tính tốn một cách nhanh chĩng bằng thuật tốn biến đổi nhanh Fourier (FFT – Fast Fourier Transform). Mặt khác trong một số trường hợp, khi số điểm quan sát N khơng đủ lớn (hay tần số lấy mẫu thấp) chúng ta cĩ thể sử dụng kỹ thuật FFT Pruning để nâng cao độ phân giải của phép đo, như được trình bày dưới đây

Sử dụng kỹ thuật FFT Pruning nâng cao độ phân giải của phép đo

Như đã phân tích ở trên các kết quả của biến đổi tương quan chéo cổ điển hay tương quan chéo kết hợp biến đổi Hilbert được xác định bằng biến đổi DFT trên dải

2N-1 với độ phân giải 1/fs (fs – tần số lấy mẫu của tín hiệu cảm biến) – do đĩ kết quảxác định điểm cực đại (của hàm tương quan chéo cực đại) hay điểm khơng (của hàm tương quan chéo kết hợp biến đổi Hilber) đều cĩ độ phân giải là 1/fs. Việc này sẽ dẫn đến sự tồn tại của sai số nhất định nếu thời gian trễ khơng bằng một số nguyên lần 1/fs. Vì vậy, vấn đề nâng cao độ phân giải của phép đo được quan tâm và kỹ thuật FFT Pruning là một trong các kỹ thuật giải quyết vấn đề này [58], được phát biểu như sau.

Xem xét một tín hiệu gốc x[n], tại N điểm lấy mẫu (n = 0, 1, …, N-1), và cần xây dựng tín hiệu nội suy x’[n] của tín hiệu gốc đĩ tại rN điểm, với r là một số nguyên dương, thỏa mãn: x’[rn]=x[n] với n = 0, 1, …, N-1. Yêu cầu này tương đương với việc nâng cao hơn độ phân giải tương ứng với việc tăng tần số lấy mẫu theo hệ số r, được thực hiện bằng cách thêm các số khơng vào giữa tần số Nyquist cũ và mới. Đặt X[k] là N điểm của biến đổi Fourier rời rạc của x[n]; X’[k] là rN

điểm biến đổi Fourier rời rạc của x’[k] Khi đĩ X’[k] sẽ được xác định thơng qua

X[k] như sau:

{

Khi đĩ x’[n] sẽ là kết quả biến đổi ngược Fourier rời rạc (IFFT) của dãy X’[k].

Kết luận chƣơng 3

Trong chương này, dựa vào việc phân tích độ khơng đảm bảo đo cho phép đo vận tốc nguồn nhiệt bằng hệ thống hai mơ-đun cảm biến PIR, tác giả nhận thấy cần giải quyết hai bài tốn quan trọng: (1) Đảm bảo độ song song giữa hai quang trục của hai mơ-đun cảm biến PIR và (2) Xác định độ trễ dựa trên hai tín hiệu đầu ra theo thời gian của hai mơ-đun cảm biến PIR.

Để giải quyết bài tốn (1), tác giả đã đề xuất và xây dựng hệ thí nghiệm phục vụ cho việc xác định vị trí quang trục của từng mơ-đun cảm biến hồng ngoại so với mặt phẳng mục tiêu của nguồn nhiệt được điều biến. Các phân tích đã chỉ ra các hệ số ảnh hưởng đến độ phân giải của phép đo. Khi vị trí quang trục của các mơ-đun cảm biến được xác định, và các mơ-đun được hiệu chỉnh về vị trí tương ứng, độ song song giữa hai quang trục của hai mơ-đun sẽ được kiểm sốt. Độ khơng đảm bảo đo của việc căn chỉnh song song này dựa vào độ khơng đảm bảo đo khi xác định vị trí quang trục của từng mơ-đun cảm biến.

Để giải quyết bài tốn (2), tác giả đã đề xuất các phương án và mơ hình tốn học cho các tín hiệu theo thời gian của các mơ-đun cảm biến dưới gĩc nhìn của các

dữ liệu ngẫu nhiên dừng, nhằm giải quyết các bài tốn này một cách đặc thù và cĩ thể tiếp cận trong thực tế. Hai phương pháp xử lý tín hiệu gồm: kỹ thuật tương quan chéo cổ điển và tương quan chéo kết hợp biến đổi Hilbert được áp dụng. Các phân tích về độ khơng đảm bảo đo cho việc xác định độ trễ giữa hai tín hiệu được đã được trình bày.

Các kết quả về mặt số liệu của các phương pháp này khi ứng dụng cụ thể vào hệ thống do vận tốc nguồn nhiệt bằng bức xạ hồng ngoại được thể hiện ở chương 4 tiếp theo.

CHƢƠNG 4. CÁC KẾT QUẢ PHÂN TÍCH VÀ THỰC NGHIỆM

Trong chương này, các tính tốn liên quan đến độ khơng đảm bảo đo của hệ thống liên quan đến các phương pháp và các phân tích trong chương 3 được thực hiện. Các tính tốn này được thực hiện dựa trên các thơng số của thiết kế hệ quang học cảm biến hồng ngoại PIR, thiết kế hệ thống đo thực nghiệm, hệ thống thí nghiệm xác định và hiệu chỉnh quang trục của các mơ-đun cảm biến hồng ngoại.

4.1 Khảo sát hệ thống xác định vị trí quang trục của mơ-đun cảm biếnPIR PIR

Hai mơ-đun cảm biến nhiệt điện PIR được chế tạo gia cơng (phụ lục A). Theo đĩ, bề mặt cảm biến PIR được đặt ở vị trí tiêu cự của thấu kính Fresnel, và tín hiệu đầu ra của cảm biến PIR được biến đổi xử lý bởi bo mạch điện tử được gắn kèm theo vỏ của mơ-đun cảm biến. Các thơng số liên quan đến cảm biến PIR và thấu kính Fresnel được cung cấp ở bảng 4.1. Hình 4.1 mơ tả hình dạng thực tế và hình cắt 3D của mơ-đun cảm biến PIR.

Bảng 4.1 cung cấp các thơng số của mơ-đun cảm biến hồng ngoại thụ động PIR được sử dụng phục vụ cho các tính tốn mơ phỏng:

ảng 1 Thơng số phục vụ mơ phỏng.

Thơng số

Kích thước phần tử cảm, he × we

Khoảng trống giữa hai phần tử cảm, wg

Hằng số thời gian nhiệt, ηTh

Hằng số thời gian điện, ηe

Khuếch đại của cảm biến, Kd

Khuếch đại của mạch biến đổi, Ka

Đường kính thấu kính, D

Tiêu cự, f

Kích thước lỗ kim, HP × WP

Khoảng cách, R

Dải bước sĩng làm việc, λ1 ÷ λ2

Độ phát xạ của nguồn nhiệt, ε

Độ suy giảm cho khí quyển, η

Độ truyền của thấu kính, η

nh 1 Hình dạng (trên) và hình cắt 3D (dưới) của mơ-đun cảm biến PIR

Một hệ thống xác định và hiệu chỉnh vị trí quang trục của mơ-đun cảm biến hồng ngoại PIR được chế tạo dựa theo các phân tích ở mục 3.1 và được mơ tả ở hình 4.2.

nh 2 Thiết kế 3D (trên) và hình ảnh thực (dưới) của hệ thống xác định/căn chỉnh vị trí quang trục của mơ-đun cảm biến PIR

4.1.1 Thí nghiệm xác định và hiệu chỉnh vị trí quang trục mơ-đun PIR

Trước hết, để xác định đáp ứng của mơ-đun cảm biến PIR đối với tín hiệu điều biến sinusoid theo tần số ω nào đĩ, cần xác định đầu vào thơng lượng bức xạ hồng ngoại, đối với các thơng số cài đặt của hệ thống. Đại lượng này được đề cập đến trong mục 3.2.1.

Hình 4.3 và 4.4 mơ tả hệ số truyền của của cảm biến PIR và thấu kính Fresnel được sử dụng trong nghiên cứu.

nh 3 Mơ tả hệ số truyền của cửa sổ quang học cảm biến PIR [59]

nh 4 Mơ tả hệ số truyền của thấu kính Fresnel [60]

Nhận thấy rằng, cảm biến PIR làm việc với các bước sĩng trên 5 µm (tương ứng với các bề mặt với nhiệt độ dưới 579 oK hay xấp xỉ 300 oC). Tương ứng với dải bước sĩng này, độ truyền của thấu kính Fresnel đạt ở khoảng 55 % ÷ 70 % ở hầu hết các bước sĩng, ngoại trừ một số bước sĩng rời rạc (như tại 7 µm, 14 µm, v.v – hình 4.4).

Để giảm độ phức tạp của tính tốn, cĩ thể coi độ truyền của cửa sổ quang học cảm biến PIR và thấu kính Fresnel trên khoảng bước sĩng làm việc là khơng đổi, cụ thể:

Suy ra hệ số truyền bức xạ hồng ngoại của mơ-đun quang học cảm biến PIR trong dải bước sĩng làm việc (5 µm, +∞) bằng:

Mặt khác, coi độ phát của vật đen và nền bằng 1 (vật đen tuyệt đối).

Giá trị hàm Lambertain đối với các nhiệt độ khác nhau trong cơng thức (3.7) được xác định bằng tích phân xác định:

(Với phương pháp số, hồn tồn cĩ thể xác định hàm Lambertain

phân xác định của một hàm bước sĩng với giá trị độ phát ε(λ) và độ truyền η(λ)

khác nhau tại các bước sĩng khác nhau. Tuy nhiên dựa trên các đồ thị hình 4.3 và 4.4 thì giả thiết (4.2) khơng ảnh hưởng quá nhiều đến kết quả thực tế).

Hình 4.5 mơ tả các giá trị hàm trong cơng thức (4.3), tại các nhiệt độ T

khác nhau. Các giá trị này được xác định bằng phương pháp số với chương trình lập trình tính tốn được viết trên nền tảng Matlab phiên bản 2020.

nh 5 Giá trị hàm Lambertian của hệ quang học của mơ-đun cảm biến PIR trong nghiên cứu tại các nhiệt độ bề mặt T khác nhau

Khảo sát giá trị hệ số Q(Ts, Tb) trong cơng thức (3.14)

Giá trị hệ số Q(Ts, Tb) trong cơng thức (3.14) đặc trưng hệ số tăng thuận của biên độ thơng lượng bức xạ đầu vào đến các phần tử cảm của cảm biến PIR, phụ thuộc vào nhiệt độ bề mặt của nguồn nhiệt Ts và nhiệt độ mơi trường nền Tb .

Để việc theo dõi dễ dàng, cơng thức xác định hệ số Q(Ts, Tb) trong (3.14) được viết lại:

| |

Hệ số Q trong cơng thức (4.4) phụ thuộc vào các yếu tố sau:

- Chiều cao của phần tử cảm he [mm]

- Diện tích bề mặt thấu kính Al [cm2]

- Tiêu cự của thấu kính f [mm]

- Nhiệt độ bề mặt nguồn nhiệt tham chiếu Ts [K] và nhiệt độ mơi trường làm việc Tb [K]. Giả thiết rằng các giá trị nhiệt độ này khơng đổi khi thực hiện phép đo.