4.1 Khâi niệm về xoắn 4.1.1 Định nghĩa
Một thanh được gọi lă chịu xoắc thuần túy khi ngoại lực tâc dụng lă câc ngẫu lực nằm trín mặt cắt của thanh.
Ví dụ:Thanh mặt cắt tròn một đầu cố định vă một đầu tự do chịu tâc tâc dụngcủa ngẫu lực m = P.a (hình 2.12).
4.1.2 Nội lực
Để xâc định nội lực ta dùng phương phâp mặt cắt.
Tưởng tượng cắt thanh AB chịu xoắn thănh 2 phần A, B bỏ đầu A giữ lại đầu B để
xĩt.
Để đầu B cđn bằng ta cần đặt văo mặt cắt nội lực Mxcó trị số mômen bằng vă ngược chiều với ngẫu lực (P,P), (hình 2.13).
Mx = m = P.a P P a P P a A B B Mx P P a
45
Ví dụ 1: Trục truyền mang bốn bânh đai như hình vẽ. Bânh 2 tâc động văo trục mômen phât động m2= 600Nm, câc bânh 1, 3 vă 4 tâc động văo trục câc mômen cản m1 =
200Nm, m3 = 100Nm, m4=300Nm. Bỏ qua ma sât ở câc gối, hêy vẽ biểu đồ mômen xoắn
nội lực cho trục.
Băi giải
Trước hếtđể vẽ biểu đồ tachia trục thănh 5 đoạn, tính mômen xoắn nội lực tại mặt cắt ngang trong từng đoạn.
- Đối với đoạn I mặt cắt 1-1 vă khảo sât sự cđn bằng của phần bín trâi, ta có MxI = 0
- Đối với đoạn II thực hịín mặt cắt 2-2 vă khảo sât sự cđn bằng của phần bín trâi, ta
có: MxII = m1 = 200 Nm
- Đối với đoạn III thực hịín mặt cắt 3-3 vă khảo sât sự cđn bằng của phần bín trâi,
ta có:
MxIII = m1 - m2 = 200 - 600 = - 400Nm
- Đối với đoạn IV thực hịín mặt cắt 4-4 vă khảo sât sự cđn bằng của phần bín phải,
ta có:
MxIV = - m4 = - 300 Nm
46
- Đối với đoạn V mặt cắt
1-1 vă khảo sât sự cđn bằng của phần bín phải, ta có
MxV = 0
Khi câc mắt cắt 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 dịch chuyển trong đoạn I, II, III, IV, V thì
MxI = 0, MxV = 0, MxII,
MxIII, MxIV không đổi vă lă câc hằng số, ta có biểu đồ như hình vẽ. Đoạn III có mômen xoắn nội lực có trị số tuyệt đối lớn nhất lă
400Nm.
4.1.3 Biến dạng trong thanh chịu xoắn
Xĩt thanh có mặt cắt tròn, kẻ câc đường sinh biểu thị cho câc thớ dọc, câc đường vuông góc với trục thanh biểu thị cho câc mặt cắt của thanh, câc đường đó tạo thănh câc ô chữ nhật (hình 2.14). Ở mặt đầu thanh kẻ bân kính r.
Tâc dụng văo thanh ngẫu lực m, nhận thấy:
- Khi chịu xoắn, câc mặt cắt của thanh xoay quanh trục một góc năo đó nhưng vẫn tròn với bân kính cũ, vẫn phẳng vă vuông góc với trục của thanh.
- Khoảng câch giữa hai mặt cắt trước vă khi chịu xoắn không đổi.
- Trước vă khi chịu xoắn,bân kính của mặt cắt vẫn thẳng vă có chiều dăi không đổi. Gọi góc xoay bân kính mặt đầu lă góc xoắn tuyệt đối, ký hiệu
Tỷ số gọi lă góc xoắn tương đối, trong đó l lă chiều dăi của thanh.
Dưới tâcdụng của ngẫu lực, câc phần tử vật liệu trín câc mặt cắt dịch chuyển một góc tương đối . l m r r
47
Ta có quan hệ giữa vă ở mặt ngoăi của thanh:
hay hay
Một điểm câch trục một khoảng sẽ thực hiện một góc trượt = .
Như vậy biến dạng trượt trong thanh chịu xoắn thay đổi liín tục tăng dần từ trong thanh ra mặt ngoăi thanh.
Tại trục độ trượt nhỏ nhất: r = 0 = 0
Tại điểm câch trục một khoảng r = = .
Tại mặt ngoăi đạt trị số lớn nhất: max = .max = .r
4.1.4.Ứng suất trín mặt cắt thanh chịu xoắn
Quan sât biến dạng của thanh chịu xoắn, có thể kết luận trín mặt cắt của thanh không có ứng suất phâp mă chỉ có ứng suất tiếp, phương chiều của ứng suất vuông góc với bân kính đi qua điểm đang xĩt.
Theo định luật húc về biến dạng trượt: x = .G
Vì trị số trong mặt cắt của thanh biến đổi từ 0 đến giâ trị lớn nhất ứng với vị trí câc điểm từ tđm ra mặt ngoăi. Do đó trị số ứng suất tiếp cũng thay đổi từ 0 ÷ max.
max = max .G = .r.G
Ta có thể biểu thị sự biến đổi của ứng suất bằng biểu đồ. Theo biểu đồ ta có: x tỷ lệ với khoảng câch từ điểm đang xĩt tới trục biểu diễn như trín hình 3.13.
Nội lực phđn bố như trín phần tử diện tích F lă F.
Mô men xoắn trín phần tửdiện tích F lă M = F.. Mômen xoắn trín toăn bộ mặt cắt lă:
Mx = M = F.. = F.max.. r = max.F.2 r r . l. l r . .r Hình 11.11 pi Mx pi pi max
48
Đặt F.2= Jovă gọi lă mômen quân tính độc cực, đơn vị m4, ta có: Mx = max. r Jo Hay max = x o M J r . Đặt Wo = r Jo đơn vị Wo lă m3 Ta có 𝜏𝑚𝑎𝑥=𝑊𝑀𝑥 𝑜 (2-12)
Wo đặc trưng cho khả năng chống xoắn của thanh vă được gọi lă mômen diện tích chống xoắn
Với thanh tiết diện tròn
Jo = 4 0,1 4 32 d d (2-13) Wo= 3 0,2 3 16 d d (2-14) 4.2 Tính toân về xoắn 4.2.1 Điều kiện bền
Một thanh chịu xoắn thuần túy đảm bảo điều kiện bền khi vă chỉ khi ứng suất sinh ra lớn nhất trong thanh nhỏ hơn hoặc bằng ứng suất cho phĩp.
(2-15)
4.2.2 Chọn mặt cắt
Từ điều kiện cường độ ta suy ra:
(2-16)
Chú ý: Với những trục truyền chuyển động quay công suất P, momen xoắn ngoại
lực tính theo công thức:
m = 9736. (Nm) (2-17)
Trong đó: Công suất P tính bằng oât, vận tốc góc n tính bằng vg/ph ( n lă số vòng quay trong một phút của trục).
0 x max W M x 0 M W n P
49
m = 7162. (Nm) (2-18)
Trong đó: Công suất P tính bằng mê lực, vận tốc góc n tính bằng vg/ph ( n lă số vòng quay trong một phút của trục).
Ví dụ:Một thanh mặt cắt tròn chịu hai mômen xoắn tâc dụng ở mặt cắt ở hai đầu tự
do Mx= 2kNm. Mặt cắt có đường kính d = 6,5cm. Hêy kiểm tra cường độ của thanh biết
.
Giải:
Với mặt cắt hình tròn ta có:
W0≈ 0,2 d3 = 0,2 . 0,0653 = 54.10-6m2 Âp dụng công thức ta có:
Vậy thanh được đảm bảo về cường độ.