8. Cấu trúc luận án
3.3.3Ứng dụng biến đổi Fourier cho các đánh giá tương quan
Trong mục này, tác giả đề cập đến việc xác định tương quan chéo của hai tín hiệu đầu ra của hai mơ-đun cảm biến cũng như biến đổi Hilbert của tương quan chéo này, bằng việc áp dụng biến đổi Fourier. Nếu việc này khả thi, chúng ta sẽ thu được một hướng tiếp cận nhằm giảm khối lượng tính tốn cũng như loại bỏ được các yếu tố nhiễu trong tín hiệu xuất hiện ở các tần số cao khơng mong muốn.
Đối với việc xác định tương quan chéo giữa hai tín hiệu đầu ra của hai mơ-đun cảm biến, các phép tính thực hiện trên miền thời gian rời rạc:
∑
Với rj[m] – là giá trị lấy mẫu tại một điểm thời gian rời rạc, N – độ rộng (số lượng các điểm lấy mẫu) của một cửa sổ quan sát. Để thực hiện kết quả phép tính (3.75) với n chạy từ -(N-1) đến +(N-1), cần một lượng phép tính tương đương N2. Phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT) cĩ thể được sử dụng để tính f[n], dẫn đến số lượng phép tính cần thiết ít hơn đáng kể. Phương pháp được mơ tả trong các đoạn sau.
Đặt:
Ta cĩ thể viết g[n] như sau:
∑
ở đây, - ký hiệu phép nhân chập.
Khi đĩ, dựa trên tính chất của biến đổi rời rạc Fourier:
Với G, X1, X2 là kết quả biến đổi rời rạc Fourier của các hàm g[n], x1[n], x2[n]
tương ứng. Phép biến đổi rời rạc Fourier biến đổi một hàm x[n] trong miền thời gian thành hàm X[k] trong miền tần số:
∑
Chúng ta cĩ thể sử dụng quan hệ trong (3.77) để thu được g[n] nếu chúng ta chèn các tín hiệu ban đầu x1[n] và x2[n] với các số khơng cĩ độ dài bằng hoặc lớn hơn độ dài dự kiến của tích chập tuyến tính (2N - 1). Do đĩ, nếu chúng ta xác định:
{ {
Theo đĩ:
( )
Tương tự, với phép biến đổi Hilbert trong miền thời gian rời rạc:
∑ ̂̃
với ̃ là kết quả biến đổi Hilbert rời rạc của r2[n], được xác định bởi:
̂̃ ∑
Theo đĩ, nếu chúng ta xác định:
{
̂̃ {̃ ̃
Tương tự như phân tích ở trên:
( ̃ )
Mặt khác, ta lại cĩ: ̂̃∑
trong đĩ y2[n] được xác định ở cơng thức (3.78) và cĩ kết quả biến đổi DFT:
Ta cĩ: ̂̃
Theo đĩ kết quả biến đổi Fourier của fH[n], được xác định thơng qua các phép biến đổi Fourier của y1 [n] và y2 [n], cụ thể:
(( ) )
Từ các cơng thức (3.80) và (3.87) thể hiện các kết quả áp dụng biến đổi Fourier phục vụ cho việc tính tốn các kết quả của tương quan chéo và biến đổi Hilbert. Trong ứng dụng thực tế, khi chọn khoảng thời gian quan sát ứng với số điểm lấy mẫu là một lũy thừa bậc 2 của một số tự nhiên N = 2p, biến đổi Fourier rời rác cĩ thể được tính tốn một cách nhanh chĩng bằng thuật tốn biến đổi nhanh Fourier (FFT – Fast Fourier Transform). Mặt khác trong một số trường hợp, khi số điểm quan sát N khơng đủ lớn (hay tần số lấy mẫu thấp) chúng ta cĩ thể sử dụng kỹ thuật FFT Pruning để nâng cao độ phân giải của phép đo, như được trình bày dưới đây (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Sử dụng kỹ thuật FFT Pruning nâng cao độ phân giải của phép đo
Như đã phân tích ở trên các kết quả của biến đổi tương quan chéo cổ điển hay tương quan chéo kết hợp biến đổi Hilbert được xác định bằng biến đổi DFT trên dải
2N-1 với độ phân giải 1/fs (fs – tần số lấy mẫu của tín hiệu cảm biến) – do đĩ kết quảxác định điểm cực đại (của hàm tương quan chéo cực đại) hay điểm khơng (của hàm tương quan chéo kết hợp biến đổi Hilber) đều cĩ độ phân giải là 1/fs. Việc này sẽ dẫn đến sự tồn tại của sai số nhất định nếu thời gian trễ khơng bằng một số nguyên lần 1/fs. Vì vậy, vấn đề nâng cao độ phân giải của phép đo được quan tâm và kỹ thuật FFT Pruning là một trong các kỹ thuật giải quyết vấn đề này [58], được phát biểu như sau.
Xem xét một tín hiệu gốc x[n], tại N điểm lấy mẫu (n = 0, 1, …, N-1), và cần xây dựng tín hiệu nội suy x’[n] của tín hiệu gốc đĩ tại rN điểm, với r là một số nguyên dương, thỏa mãn: x’[rn]=x[n] với n = 0, 1, …, N-1. Yêu cầu này tương đương với việc nâng cao hơn độ phân giải tương ứng với việc tăng tần số lấy mẫu theo hệ số r, được thực hiện bằng cách thêm các số khơng vào giữa tần số Nyquist cũ và mới. Đặt X[k] là N điểm của biến đổi Fourier rời rạc của x[n]; X’[k] là rN
điểm biến đổi Fourier rời rạc của x’[k] Khi đĩ X’[k] sẽ được xác định thơng qua
X[k] như sau:
{
Khi đĩ x’[n] sẽ là kết quả biến đổi ngược Fourier rời rạc (IFFT) của dãy X’[k].
Kết luận chƣơng 3
Trong chương này, dựa vào việc phân tích độ khơng đảm bảo đo cho phép đo vận tốc nguồn nhiệt bằng hệ thống hai mơ-đun cảm biến PIR, tác giả nhận thấy cần giải quyết hai bài tốn quan trọng: (1) Đảm bảo độ song song giữa hai quang trục của hai mơ-đun cảm biến PIR và (2) Xác định độ trễ dựa trên hai tín hiệu đầu ra theo thời gian của hai mơ-đun cảm biến PIR.
Để giải quyết bài tốn (1), tác giả đã đề xuất và xây dựng hệ thí nghiệm phục vụ cho việc xác định vị trí quang trục của từng mơ-đun cảm biến hồng ngoại so với mặt phẳng mục tiêu của nguồn nhiệt được điều biến. Các phân tích đã chỉ ra các hệ số ảnh hưởng đến độ phân giải của phép đo. Khi vị trí quang trục của các mơ-đun cảm biến được xác định, và các mơ-đun được hiệu chỉnh về vị trí tương ứng, độ song song giữa hai quang trục của hai mơ-đun sẽ được kiểm sốt. Độ khơng đảm bảo đo của việc căn chỉnh song song này dựa vào độ khơng đảm bảo đo khi xác định vị trí quang trục của từng mơ-đun cảm biến.
Để giải quyết bài tốn (2), tác giả đã đề xuất các phương án và mơ hình tốn học cho các tín hiệu theo thời gian của các mơ-đun cảm biến dưới gĩc nhìn của các
dữ liệu ngẫu nhiên dừng, nhằm giải quyết các bài tốn này một cách đặc thù và cĩ thể tiếp cận trong thực tế. Hai phương pháp xử lý tín hiệu gồm: kỹ thuật tương quan chéo cổ điển và tương quan chéo kết hợp biến đổi Hilbert được áp dụng. Các phân tích về độ khơng đảm bảo đo cho việc xác định độ trễ giữa hai tín hiệu được đã được trình bày.
Các kết quả về mặt số liệu của các phương pháp này khi ứng dụng cụ thể vào hệ thống do vận tốc nguồn nhiệt bằng bức xạ hồng ngoại được thể hiện ở chương 4 tiếp theo.
CHƢƠNG 4. CÁC KẾT QUẢ PHÂN TÍCH VÀ THỰC NGHIỆM
Trong chương này, các tính tốn liên quan đến độ khơng đảm bảo đo của hệ thống liên quan đến các phương pháp và các phân tích trong chương 3 được thực hiện. Các tính tốn này được thực hiện dựa trên các thơng số của thiết kế hệ quang