điểm z0 là điểm bất thường cốt yếu. Ví dụ 2. Hàm f z cos 1
z 2
có điểm bất thường cốt yếu z0 2 vì trong miền 0 z 2 chuỗi Lorăng
n 2 2n 1 1 1 cos 1 ... 1 ... z 2 2! z 2 2! z 2
chứa trong phần chính gồm vô số các số hạng với hệ số khác không.
Định lý 4. Nếu z0điểm bất thường cốt yếu của hàm f z thì với bất kỳ
số phức A ( kể cả trường hợp A ) tồn tại dãy điểm zn hội tụ đến z sao 0
cho n
nlim f z A.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng f z e1/z có điểm bất thường cốt yếu tại 0
z 0.
Kết luận.
1. Phân loại điểm bất thường xác định các số hạng với âm củaz z 0 trong chuỗi Lorăng (7.4) của khai triển hàm f z trong lân cận điểm z . Chuỗi 0
n n 0 n 1 c z z
gọi là phần chính của khai triển Lorăng (7.4). Chuỗi cùng với những số hạng không âm trong chuỗi (7.4) gọi là phần đều của chuỗi Lorăng. Phần chính hoặc phần đều của chuỗi Lorăng (7.4) có thể có hữu hạn số hạng hoặc thậm chí thiếu váng tất cả.
2. Điểm bất thường cô lập z của hàm số 0 f z là: + Bỏ được nếu 0 z zlim f z c ; + Cực điểm cấp m nếu 0 z zlim f z ;
+ Cực điểm cấp yếu nếu
0 z zlim f z
không tồn tại.
2.Khai triển hàm giải tích thành chuỗi Lorăng trong lân cận điểm vô cực
Định nghĩa. Điểm vô cực z gọi là điểm bất thường bỏ được, cực điểm cấp m hoặc bất thường cốt yếu của hàm f z , nếu điểm 0 tương ứng là điểm bất thường bỏ được, cực điểm cấp m hoặc bất thường cốt yếu của hàm f 1
. Khai triển hàm trong lân cận 0 thành chuỗi Lorăng:
n n n c . Quay trở lại phép biến đổi z 1
ta nhận được n n n f z c z . (7.15)
Khai triển (7.15) gọi là khai triển hàm f z thành chuỗi Lorăng trong lân
cận điểm vô cực z .
So sánh (7.14) và (7.15) đưa đến kết luận rằng vai trò những số hạng với luỹ thừa dương và âm biến đổi cho nhau. Từ đó suy ra phần chính trong khai triển Lorăng tại lân cận z là tập những số hạng có luỹ thừa dương, phần đều là phần còn lại của chuỗi (7.15).
Kết luận.
1. Nếu trong khai triển (7.15) thiếu những hệ số của luỹ thừa dương của z thì điểm vô cực là điểm bất thường bỏ được của f z .
2. Nếu trong khai triển Lorăng (7.15), tập hợp những hệ số khác không của luỹ thừa dương của z là hữu hạn (vô hạn) thì điểm vô cực z là cực điểm (điểm bất thường cốt yếu) của hàm f z . Nhận thấy rằng, đối với điểm bất thường bỏ
được, cực điểm và bất thường cốt yếu tương ứng
zlim f z , zlim f z , zlim f z không tồn tại.
Xác định dạng của điểm bất thường z .
1) Hàm 1
5 z
Trong lân cận z 5, khai triển hàm thành chuỗi Lorăng
2 3 n 2 3 2 n 1 1 1 1 5 5 5 1 5 ( 5) 1 ... ... ... 5 5 z z 1 z z z z z z z z
Trong chuỗi khai triển Lorăng thiếu vắng những phần tử với luỹ thừa dương của z nên điểm z là điểm bất thường bỏ được.
2) Hàm f z cosz.
3. Hàm nguyên và hàm phân hình
Định nghĩa 1. Hàm số f z giải tích trên mặt phẳng phức gọi là hàm
nguyên.
Trong mặt phẳng phức mở rộng C , điểm z là điểm bất thường duy nhất. Khai triển Lorăng trong lân cận bất kỳ z R của z trong trường hợp tổng quát này có dạng
nn n n 0 f z c z . (7.16)
Có thể xảy ra những trường hợp riêng như sau:
1. Nếu điểm z là điểm bất thường bỏ được của f z thì f z c0, tức là hàm nguyên là hàm hằng.
2. Nếu điểm z là cực điểm cấp m thì n n n 0 f z c z , tức là hàm nguyên là hàm đa thức.
3. Nếu điểm z là điểm bất thường cốt yếu của hàm f z , thì có trường hợp tổng quát (7.16).
Hàm nguyên, đối với z là điểm bất thường cốt yếu được gọi là hàm siêu việt.
Ví dụ 3. Những hàm nguyên sin z, cosz, e có z z là điểm bất thường cốt yếu.
Định nghĩa 2. Hàm f z giải tích khắp nơi trong miền D, trừ ra một số cực
điểm gọi là hàm phân hình trong miền D. Ví dụ 4. Hàm tgz sin z,
cosz
ctgz cosz sin z
là phân hình trong mặt phẳng . Hàm phân hình f z có thể biểu diễn ở dạng thương của hai hàm nguyên
z
f z ,
z
bởi vì không điểm của hàm (z) là cực điểm của hàm f z .
Trong mặt phẳng phức C cực điểm của hàm f z là không điểm của mẫu.
- Yêu cầu SV chuẩn bị:Nắm kiến thức cơ bản, hiểu, làm bài tập đã cho.
TL1:Phan Bá Ngọc, Các phép biến đổi Laplace , KHKT, 1978 TL2: Đào Bá Dương, Hàm Phức, HVKTQS ,1998
Bài giảng 7: Thặng dƣ
Chương I, Mục:4.1-4.2
Tiết thứ: 20-22 Tuần thứ:
- Mục đích, yêu cầu:
* Định nghĩa thặng dư, và các tính chất; phương pháp tính thặng dư * Định lý cơ bản về thặng dư, thặng dư loga
* Vận dụng giải 1 số bài tập đơn giản
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu