Mô ̣t hê ̣ đa ̣i số tuyến tính có thể có m phƣơng trình n ẩn. ở đây ta chỉ xét những hệ có n phƣơng trình ẩn:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = f1
a21x2 + a22x2 + ... + a2nxn = f2
... ...
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = fn
Trong đó: aijlà hệ số của ẩn xj của phƣơng trình i, filà vế phải của phƣơng trình thứ i.
Giả sửa đã biết aijvà fita phải tìm các ẩn xj.
Ma trâ ̣n
(3.2)
Gọi là ma trận hệ số của hệ (3.1). Các vectơ:
(3.3)
Đƣợc gọi l à vectơ vế phải và vectơ ẩn của hệ. Sau này để tiết kiê ̣m giấy, thay cho cách viết trên ta có thể viết.
f = (f1, f2, ... fn)T, x = (x1, x2, ..., xn)t.
Biết rằng tích của ma trâ ̣n A với vectơ x, viết là Ax, là một vectơ có tọa độ thứ i là:
Đó chính là vế trái của phƣơng trình thƣ́ i của hê ̣ (3.1)
Vâ ̣y hê ̣ (3.1), có thể viết ở dạng vectơ hay dạng ma trận nhƣ sau:
Ax - f (3.4).
45
2. Sƣ̣ tồn ta ̣i và duy nhất nghiê ̣m của hê ̣
Gọi định thức của ma trận A là định thức của hệ , viết là : = det (A). Nếu = 0 ta
nói ma trận A suy biến và hệ (3.1), tƣ́c là (3.4) là hệ suy biến.
Gọi ilà định thức suy từ bằng cách thay cột thƣ́ i bởi cột vế phải. Ta có đi ̣nh lý sau:
Đi ̣nh lý 3.1. (Crame): Nếu 0 tƣ́c là nếu hê ̣ không suy biến thì hê ̣ (3.1) có nghiệm duy nhất cho bởi công thƣ́c:
3. Chú thích:
Kết quả này rất gọn và rất đe ̣p về mă ̣t lý thuyết nhƣng tính nghiê ̣m bằng công thƣ́c
(3.5) rất đắt nghĩa là mất rất nhiều công, số các phép tính sơ cấp (+, -, x, : ) cần thiết là vào cỡ (n + 1)! n. Ký hiệu số đó là Nc(n) ta có:
NC(n) (n + 1)!n
Với n = 15 ta có NC(15) 3.1014. Đây là một số rất lớn . Sau đây ta trình bày một phƣơng pháp khác tiết kiê ̣m đƣợc công tính rất nhiều. đó là phƣơng pháp Gaoxơ.
46
6.2. Phƣơng pháp Gaoxơ (Gauss)
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});