b. Cỏc hàm thư viện
3.1.3 Hệ tiờn đề Amstrong
Gọi F là tập tất cả cỏc phụ thuộc hàm đối với lược đồ quan hệ R(U) và X→Y là một phụ thuộc hàm, X,Y⊆U. Núi rằng X→Y được suy diễn logic từ F nếu mối quỏn hệ r trờn R(U) đều thỏa cỏc phụ thuộc hàm của F thỡ cũng thỏa X→Y. Chẳng hạn F= {A→B,B→C} thỡ A→C suy ra từ F. Gọi F+ là bao đúng (closure) của F, tức là tập tất cả cỏc phụ thuộc hàm được suy diễn logic từ F. nếu F= F+thỡ F là họ đầy đủ( full family) của cỏc phụ thuộc hàm.
Để cú thể xỏc định khúa của một lược đồ quan hệ và cỏc suy diễn logic giữa cỏc phụ thuộc hàm cần thiết phải tớnh được F+ từ F. Do đú đũi hỏi phải cú cỏc hệ tiờn đề. Tập cỏc quy tắc của hệ tiờn đề được Armstrong (1974) đưa ra, thường được gọi là hệ tiờn đề Armstrong.
KHOA CNTT –TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CễNG NGHIỆP
GọiR(U) là lược đồ quan hệ với U= {A1, ….., An} là tập cỏc thuộc tớnh. X,Y, Z,
W ⊆U. Hệ tiờn đề Armstrong bao gồm :
A1(phản xạ): nếu Y⊆X thỡ X→Y
A2(tăng trưởng):nếu Z⊆U và X→Y thỡ XZ→YZtrong đú ký hiệu XZ là
tập hợp của 2 tập X và Z thay cho ký hiệu X∪Z.
A3(bắc cầu): nếu X→Y và Y→Z thỡ X→Z
Vớ dụ: AB→C, C→A
Cần chứng minh rằng BC→ABC Thật vậy từ :
1. C→A ( giả thiết)
2. BC→AB ( luật tăng trưởng (1) thờm B) 3. AB→C ( giả thiết)
4. AB→ABC ( tăng trưởng (3) thờm AB) 5. BC→ABC ( bắc cầu từ (2) và (4))
Định lý :
Hệ tiờn đề Armstrong là đỳng. Cú nghĩa là F là tập cỏc phụ thuộc hàm đỳng
trờn quan hệ r. nếu X→Ylà một phụ thuộc hàm được suy diễn từ F nhờ hệ tiờn đề
Armstrong thỡ X→Y là đỳng trờn quan hệ r.
Chứng minh :
Lần lượt kiểm tra tớnh đỳng đắn của ba tiờn đề A1, A2, A3
A1 : Tiờn đề A1 rừ ràng là đỳng vỡ khụng thể cú hai bộ bằng nhau trờn X mà lại khụng bằng nhau trờn tập con của nú.
A2 : Giả sử rằng quan hệ r thỏa món X→Y. Tồn tại hai bột, u ∈r sao cho
t[XZ] = u[ZX] mà t[YZ] ≠ u[YZ]. Vỡ rằng t[Z] = u[Z] nờn để cú t[YZ] ≠ u[YZ] thỡ t[Y] ≠ u[Y]. Nhưng vỡ t[X] = u[X] nờn t[Y] ≠ u[Y] là trỏi với giả thiết X→Y. Vỡ vậy A2 đỳng.
KHOA CNTT –TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CễNG NGHIỆP
A3 : Cho X→Y và Y→Z đỳng trờn quan hệ r. Giả sử tồn tại hai bộ t, u∈r sao cho t[Y] = u[Y]. Nhưng lại cú t[Y] = u[Y] và t[Z] ≠ u[Z] là trỏi với giả thiết Y→Z. Do vậy t[Z] = u[Z]. Suy ra X→Z đỳng trờn quan hệ r.
Từ hệ tiờn đề Armstrong suy ra một số luật sau đõy :
Định lý :
a. Luật hợp: nếu X→Y và X→Z thỡ X→YZ
b. Luật tựa bắc cầu: nếu X→Y và WY→X thỡ XW→Z
c. Luật tỏch: nếu X→Y và Z⊆Y thỡ X→Z
Chứng minh:
a. Từ X→Y dựng luật tăng trưởng thờm X cú X→XY, dựng luật bắc cầu ta cú điều phải chứng minh.
b. Từ X→Y, dựng luật tăng trưởng, thờm W cú WX→WY. Dựng luật bắc cầu cho WX→WY và Wy→Z suy ra WX→Z.
c. Vỡ Z⊆Y nờn Y→Z theo luật phản xạ. Dựng luật bắc cầu cho X→Y và Y→Z cú X→Z.