Cho a, b l c¡c sè nguy¶n. N¸u sè nguy¶n c vøa l ÷îc cõa a vøa l ÷îc cõa b th¼ c ÷ñc gåi l mët ÷îc chung cõa a v b. Câ thº d¹ d ng kiºm tra r¬ng khi a v b khæng çng thíi b¬ng 0 th¼ tªp c¡c ÷îc chung cõa a v b l tªp húu h¤n. Cho c¡c sè nguy¶n a, b khæng çng thíi b¬ng 0. Sè nguy¶n d ÷ñc gåi l ÷îc chung lîn nh§t cõa a v b n¸u d l mët ÷îc chung cõa a, b v måi ÷îc chung kh¡c cõa a, b ·u l ÷îc cõa d. Ta kþ hi»u d = gcd(a, b) l sè lîn nh§t trong c¡c ÷îc chung cõa a v b. Chó þ r¬ng gcd(a, b) l mët sè nguy¶n d÷ìng. Tr÷íng hñp ÷îc chung v ÷îc chung lîn nh§t cõa nhi·u sè ÷ñc hiºu t÷ìng tü.
ành lþ 2.2.1. Cho a, b l c¡c sè nguy¶n khæng çng thíi b¬ng 0. Khi â, tçn t¤i c¡c sè nguy¶n x, y sao cho
d = gcd(a, b) =xa+yb.
Chùng minh. X²t tªp hñp S gçm c¡c tê hñp tuy¸n t½nh cõa a v b,
S = au+bv/u, v ∈ Z. Gåi m = ax + by l sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t trong tªp S. Khi â, tçn t¤i q, r sao cho a = mq+r vîi 0≤ r < m. Suy ra
V¼r < m v do gi£ thi¸t v·m n¶n r = 0. Suy ra a = mq hay m | a. T÷ìng tüm | b.Nh÷ vªyml mët ÷îc chung cõaav b, suy ram ≤ d = gcd(a, b). V¼ d | a v d | b n¶n d | m = ax+by, suy ra d ≤ m. Do â, d = m.
ành lþ 2.2.2. Cho c¡c sè nguy¶n a, b vîi b̸= 0. N¸u a = bq+r, vîi 0≤ r < b th¼ gcd(a, b) = gcd(b, r).
Chùng minh. Gi£ sû d1 = gcd(a, b) v d2 = gcd(b, r). V¼ a = bq +r n¶n
d1 | r = a− bq. Do â, d1 l mët ÷îc chung cõa b v r, suy ra d1 | d2. V¼ d2 l mët ÷îc chung cõa b v r n¶n d2 l mët ÷îc cõa a = bq +r. Do â, d2 l mët ÷îc chung cõa a v b. Suy ra d2 | d1. V¼ d1 v d2 l c¡c sè d÷ìng n¶n d1 = d2.
Tø ành lþ n y ta nhªn ÷ñc mët thuªt to¡n t¼m ÷îc chung lîn nh§t cõa hai sè nguy¶n a v b.
Thuªt to¡n 2.2.3 (Thuªt to¡n Euclid). Cho a, b l c¡c sè nguy¶n vîi
a > b. N¸u b | a th¼ b = gcd(a, b). N¸u b ∤ a th¼ ta ¡p döng thuªt to¡n chia mët c¡ch l°p l¤i nh÷ sau:
a = bq0 +r1,0 < r1 < b, b = r1q1 +r2,0 < r2 < r1, r1 = r2q2 +r3,0< r3 < r2, ... rn−2 = rn−1qn−1 +rn,0 < rn < rn−1, rn−1 = rnqn + 0.
Khi â, rn l ÷îc chung lîn nh§t cõa a v b.
Hai sè nguy¶nav b÷ñc gåi l nguy¶n tè còng nhau n¸ugcd(a, b) = 1.
ành lþ 2.2.4. Hai sè nguy¶n a v b nguy¶n tè còng nhau khi v ch¿ khi tçn t¤i c¡c sè nguy¶n x v y sao cho ax+by = 1.