Cho a, b l c¡c sè nguy¶n kh¡c 0. Sè nguy¶n m vøa l bëi cõa a vøa l bëi cõa b th¼ m ÷ñc gåi l mët bëi chung cõa a v b. Sè nguy¶n m
÷ñc gåi l mët bëi chung nhä nh§t cõa a v b n¸u m l mët bëi chung cõa a v b v måi bëi chung kh¡c cõa a v b ·u l bëi cõa m. Ta kþ hi»u bëi chung d÷ìng nhä nh§t cõa a v b l m = lcm(a,b).
Ta câ mët sè t½nh ch§t v· ×îc chung lîn nh§t, Bëi chung nhä nh§t v mèi quan h» giúa ×îc chung lîn nh§t v Bëi chung nhä nh§t nh÷ sau: M»nh · 2.3.1. Cho a, b, c ∈ Z, m ∈ Z+, ta câ
i) gcd(ma, mb) =mgcd(a, b); ii) gcd(a, b) = gcd(b, a);
iii) gcd(a,gcd(b, c)) = gcd(gcd(a, b), c); iv) gcd(a, b)lcm(a,b) = ab;
Ch֓ng 3
SÈ NGUYN TÈ V ÙNG DÖNG
CC NËI DUNG TRÅNG T M 3.1 Sè nguy¶n tè
Trong tªp c¡c sè nguy¶n khæng ¥m, 0 câ væ sè ÷îc; sè 1 ch¿ câ mët ÷îc d÷ìng l ch½nh nâ; c¡c sè cán l¤i luæn câ ½t nh§t hai ÷îc d÷ìng t¦m th÷íng l 1 v ch½nh nâ. Trong möc n y ta s³ x²t c¡c sè nguy¶n d÷ìng ch¿ câ hai ÷îc d÷ìng t¦m th÷íng, c¡c sè nh÷ th¸ ÷ñc gåi l c¡c sè nguy¶n tè.
ành ngh¾a 3.1.1. Sè nguy¶n n > 1 ÷ñc gåi l sè nguy¶n tè n¸u nâ ch¿ câ hai ÷îc d÷ìng t¦m th÷íng l 1 v ch½nh nâ.
Mët sè nguy¶n d÷ìng câ nhi·u hìn hai ÷îc d÷ìng ÷ñc gåi l hñp sè.
V½ dö: C¡c sè 2, 3, 5, 7, 11, 13 l c¡c sè nguy¶n tè; c¡c sè 4, 6, 8, 9 l c¡c hñp sè. Sè 1 khæng l sè nguy¶n tè công khæng l hñp sè v¼ nâ ch¿ câ mët ÷îc d÷ìng duy nh§t.
Bê · 3.1.2. Måi hñp sè ·u câ mët ÷îc d÷ìng thªt sü l sè nguy¶n tè.
Chùng minh. Gi£ sû n l mët hñp sè. Gåi p l mët ÷îc d÷ìng thªt sü nhä nh§t cõa n. N¸u p khæng l sè nguy¶n tè th¼, do p > 1, p l mët hñp sè. Khi â tçn t¤i mët sè nguy¶n 1 < a < p sao cho a | p ⇒a | n,. i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t v· p. Nh÷ vªy, pl mët ÷îc nguy¶n tè cõa n.
Ngay tø thíi cê ¤i, ng÷íi ta ¢ bi¸t r¬ng tªp hñp t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè l væ h¤n (ành lþ Euclid). Câ r§t nhi·u chùng minh kh¡c
nhau cõa sü ki»n â. Tuy nhi¶n cho ¸n tªn b¥y gií, cho dò câ sü hé trñ cõa m¡y t½nh, ng÷íi ta v¨n ch÷a t¼m ÷ñc mët chùng minh n o hay hìn c¡ch chùng minh r§t ìn gi£n v gån nhµ sau ¥y cõa Euclid, m Æng ¢ thüc hi»n v o th¸ k thù III tr÷îc Cæng nguy¶n.
ành lþ 3.1.3 (ành lþ thù Euclid). Tçn t¤i væ h¤n c¡c sè nguy¶n tè. Chùng minh. Gi£ sû p1,· · · , pk l t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè. °t N =
p1p2· · ·pk+1, suy ra N > 1. N¸u N l mët sè nguy¶n tè th¼ nâ l mët sè nguy¶n tè mîi. Ng÷ñc l¤i, th¼, theo Bê · 3.1.2 , N câ mët ÷îc nguy¶n tè q. N¸u q l mët trong c¡c sè pi,1 ≤i ≤ k, th¼ q|(p1· · ·pk) v v¼ q | N
n¶n q | 1, i·u n y khæng x£y ra. Do â, q khæng l mët trong c¡c sè pi . Nh÷ vªy, q l mët sè nguy¶n tè mîi.