1 Hàm chỉnh hình một biến phức
1.3Các kết quả định tắnh cơ bản
Trong mục này, chúng ta tìm hiểu vài khái niệm và kết quả định tắnh cơ bản trong lý thuyết Giải tắch phức một biến, mà liên quan trực tiếp đến lý thuyết vi tắch phân phức trong các mục trước đó. Cụ thể, nội dung chắnh gồm ba định lý sau:Định lý đồng nhất, Định lý ánh xạ mở và Tắnh chất giá trị lớn nhất.
Định lý đồng nhất.
Đầu tiên là khái niệm bậc của hàm. Nói mộc cách nôm na, bậc của một hàm bằng bậc của đa thức cùng tốc độ hội tụ với hàm theo nghĩa sau đây:
Định nghĩa 1.5.
Nếu D⑨C là một tập mở, và f :DứC là hàm chỉnh hình, c là điểm thuộc D và m là một số nguyên dương. Ta nói f có bậc m tại c nếu
lim zức
f♣zq
♣z✁cqm tồn tại và là số phức khác không. Khi đó ta viết ord♣f, cq ✏m.
Rõ ràng f có bậc bằng không tại c nếu và chỉ nếu f♣cq ✘ 0 vì f là hàm liên tục. Nếu f đồng nhất bằng không trên một lân cận củac, thì ta nói f có bậc là ✽ tại c. Ta sẽ chứng minh trong mệnh đề sau rằng hàm chỉnh hình khác không địa phương thì có bậc hữu hạn. Điều này không đúng trong hàm thực. Chẳng hạn như hàm x ỡứ x2sin♣1④xq không thể có bậc với tương ứng lũy thừa xm khi x ứ0. Ngoài ra, xem như là một bài tập, học viên hãy tự chứng minh rằng nếu bậc củaf tồn tại thì đó là duy nhất.
Mệnh đề 1.8.
Giả sử D là tập mở trong C, và xét f : D ứC là hàm chỉnh hình, và xét c là một điểm trong D. Khi đó, nếu f không đồng nhất bằng không trên mọi lân cận củac, thì tồn tại một hàm g chỉnh hình trên D, khác không tại c và tồn tại số nguyên không âm m sao cho
f♣zq ✏ ♣z✁cqmg♣zq.
Chứng minh.
Công cụ chắnh để chứng minh kết quả này là Khai triển Taylor của f: nếu r ✏dist♣c,C③Dq, bên trong đĩa mở D♣c, rq, ta có
f♣zq ✏c0 c1♣z✁cq . . . cn♣z✁cqn . . . với cn✏ f♣nq♣cq
Nếu tất cả các hệ số khai triển cn, n✏0,1, . . . bằng không, thì rõ ràng f đồng nhất bằng không xung quanh c, và điều này mâu thuẫn với điều kiện của mệnh đề.
Do đó, phải xảy ra điều ngược lại, nghĩa là tồn tại ắt nhất chỉ sốnsao cho cn ✘0. Ta gọi m là chỉ số nhỏ nhất trong tất cả các chỉ số này, nghĩa là cm ✘0 và cn ✏0 với mọi n➔m.
Viết lại khai triển, ta được
f♣zq ✏cm♣z✁cqm cm 1♣z✁cqm 1 . . .✏ ♣z✁cqm♣cm cm 1♣z✁cq . . .q. Bây giờ ta định nghĩa hàm
g♣zq ✏ cm cm 1♣z✁cq . . . ,
thì g thỏa mãn các tắnh chất như trong phát biểu của mệnh đề. Do đó, ta chứng minh xong.
Trong chứng minh trên, ta thấy rằng lim
zức
f♣zq
♣z✁cqm ✏lim
zứcg♣zq ✏ g♣cq ✏ cm ✘0.
Điều đó chứng tỏ rằng f có bậc m tại c. Nghĩa là mọi hàm chỉnh hình không đồng nhất bằng không địa phương thì có bậc tồn tại. Hơn nữa, giá trị bậc này cũng chắnh xác bằng với chỉ số nhỏ nhất trong các chỉ số mà hệ số khai triển tương ứng khác không. Và điều đó dẫn đến một định nghĩa tương đương về bậc của hàm chỉnh hình: ord♣f, cq ✏m →0 nếu và chỉ nếu f♣cq ✏ f✶♣cq ✏. . .✏f♣m✁1q♣cq ✏0, f♣mq♣cq ✘ 0, và ord♣f, cq ✏ 0 nếu và chỉ nếu f♣cq ✘0. Ngoài ra, nếu f♣cq ✏ 0 thì ord♣f, cq ✏ m ➙1 còn được gọi là bội của không điểmc (điều này tổng quát khái niệm bội của nghiệm cho các đa thức).
Nhắc lại rằng tập không điểm của f trên D được ký hiệu bởi Z♣D, fq ✏ tz PD :f♣zq ✏0✉.
Ta nói cP Z♣D, fq là một không điểm cô lập nếu c không là một điểm tụ, nghĩa là tồn tại lân cận U của csao cho U ❳Z♣D, fq ✏ tc✉.
Ta sẽ cần đến một tắnh chất topo cơ bản sau: trong không gian topo Hausdorff tổng quát, tập hợp các điểm tụ của một tập con là tập đóng (chứng minh tắnh chất này có thể được tìm trong mọi giáo trình về topo cơ bản).
Bổ đề 1.3 (Bổ đề về tập không điểm). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho D là một tập mở trong C, và xét f : D ứ C là hàm chỉnh hình. Ta xét một điểm bất kỳ cPD. Khi đó, các tắnh chất sau là tương đương:
i. c là một điểm tụ của tập không điểm Z♣D, fq.
ii. c là điểm thuộc phần trong của tập không điểm Z♣D, fq. iii. Chúng ta có f♣nq♣cq ✏0, với mọi n ✏0,1, . . ..
Hơn nữa, nếu D là một miền thì f đồng nhất bằng không trên D nếu và chỉ nếu
Z♣D, fq chứa ắt nhất một điểm tụ thuộc D. Chứng minh.
Định lý được chứng minh theo sơ đồ sau.
Ta chứng minh i dẫn đếnii. Lưu ý, từ tắnh đóng của Z♣D, fq, nên nếuclà điểm tụ củaZ♣D, fqthìcPZ♣D, fq. Giả sửckhông phải là điểm trong củaZ♣D, fq, nghĩa là mọi đĩa mở tâm tạic không chứa trongZ♣D, fq. Do đó,f không đồng nhất bằng không trên mọi lân cận củac, nênf có bậc hữu hạn m tại c. Theo kết quả trước, ta tìm được hàm chỉnh hình g trên Dsao chog♣cq ✘0, và f♣zq ✏ ♣z✁cqm
g♣zq. Do g là hàm liên tục, nên tồn tại số thực δ →0 đủ nhỏ sao chog♣zq ✘ 0với mọi z PD♣c, δq. Nghĩa là ta vừa tìm được một lân cậnD♣c, δqcủa csao choD♣c, δq ❳Z♣D, fq ✏ tc✉, nên c là điểm cô lập. Điều này vô lý vì clà một điểm tụ.
Ta chứng minh ii dẫn đến iii. Nếu clà một điểm trong của Z♣D, fq thì tồn tại đĩa mở D♣c, rq sao cho D♣c, rq ⑨ Z♣D, fq. Nghĩa là f đồng nhất bằng không trên một lân cận của c, và do đó trên lân cận này ta có iii, và iii cũng đúng tạic thuộc lân cận này.
Ta chứng minh iii dẫn đếnii. Nếuf và mọi đạo hàm của nó triệt tiêu tại c, thì theo khai triển Taylor, f đồng nhất bằng không trên một đĩa mở tâm tại c. Nghĩa là clà điểm trong của tập Z♣D, fq. Do đó, c là một điểm tụ của Z♣D, fq.
Tắnh chất idẫn đến ii khẳng định rằngZ♣D, fq là tập mở trong D, nhưng cũng là tập đóng trong D. Do đó, nếu D liên thông thì Z♣Dq, f hoặc là tập rỗng, hoặc bằng chắnhD. Vì thế,Z♣D, fqchứa ắt nhất một điểm tụ nếu và chỉ nếuZ♣D, fq ✏ D, nghĩa là f đồng nhất bằng không trên D.
Tiếp theo ta sẽ phát biểu nội dung chắnh của Định lý đồng nhất. Có rất nhiều cách phát biểu cho định lý này, thường được gọi là Định lý hay Nguyên lý đồng nhất. Nói một cách chung chung, các kết quả này khẳng định sự bằng nhau của hai hàm khi chúng chỉ bằng nhau trên một tập con đặc biệt nào đó. Chẳng hạn như: hai đa
thức một biến cùng có bậc lớn nhất là m bằng nhau tại m 1 điểm phân biệt thì hai đa thức này bằng nhau. Hoặc hai hàm liên tục từ không gian topo Hausdorff X vào không gian topo Hausdorff Y mà bằng nhau trên một tập con trù mật của X thì bằng nhau trên toàn X. Từ các lý thuyết khác, ta vẫn có thể liệt kê tiếp, nhưng đối tượng chắnh của chúng ta là hàm chỉnh hình. Cụ thể, ta có
Định lý 1.14 (Định lý đồng nhất).
Giả sử D⑨C là một miền, và f, g:DứClà hàm chỉnh hình. Các khẳng định sau là tương đương:
i. f và g trùng nhau trênD.
ii. f và g trùng nhau trên một tập con mở khác rỗng củaD.
iii. f và g trùng nhau trên một tập con củaD mà có ắt nhất một điểm tụ trongD. iv. Tồn tại cP D sao cho f♣nq♣cq ✏g♣nq♣cq với mọi nP N.
Chứng minh.
Đây là hệ quả trực tiếp của Bổ đề về tập không điểm tương ứng hàm h:✏f✁g. Trong phát biểu tương đương trên, kết quả quan trọng nhất là sự tương đương của i và iii: thay vì chứng minh hai hàm trùng nhau trên toàn tập xác định D, ta chỉ cần khẳng định sự trùng nhau trên một tập con nào đó mà chứa điểm tụ trong D. Chẳng hạn như hai hàm nguyên trùng nhau trên đường thẳng thực thì trùng nhau trên toàn mặt phẳng phức. Ta cũng có một phản vắ dụ sau.
Vắ dụ 1. Xét hàm g♣xq :✏ 1
1 x2 khả vi vô hạn lần trên R. Ta quan tâm rằng có tồn tại hàmf :CứCsao cho f ✏g trênR? Ngay lập tức, ta có thể xét hàm f♣zq ✏
1
1 z2 là hàm chỉnh hình trên miền C③ti,✁i✉. Hiển nhiên rằng R⑨ ♣C③ti,✁i✉q. Do đó, chỉ có1④♣1 z2qđúng là hàmf cần tìm (theo iii) vìR chứa vô số điểm tụ, nhưng chỉ trên C③ti,✁i✉. Tuy nhiên, vì lim
zứi,✁i1④♣1 z2q ✏ ✽ nên ta không thể tìm được hàm nguyên nào CứC mà trùng vớif trên toàn mặt phẳng phức. Do đó, hàmg♣xq
có mở rộng duy nhất trên C③ti,✁i✉ và không thể có mở rộng trên toàn C.
Trước khi phát biểu một ứng dụng của Định lý đồng nhất, ta nhắcc lại một vành ♣R, , .qđược gọi là miền khả tắch nếu với hai phần tử bất kỳa, bP Rsao choa.b✏0 thì một trong hai phải bằng 0, ở đây 0 là đơn vị của phép cộng.
Cho D⑨Clà một tập mở, ta ký hiệu O♣Dqlà tập hợp các hàm chỉnh hình trên D. Khi đó O♣Dq là một vành giao hoán với phép cộng và phép nhân từng điểm các hàm phức thông thường. Rõ ràng hằng số1 là đơn vị của phép nhân và các phần tử khả nghịch (theo phép nhân) có tập không điểm là rỗng.
Định lý 1.15.
Vành các hàm chỉnh hình O♣Dqlà miền khả tắch nếu và chỉ nếu D là tập liên thông. Chứng minh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giả sử D là một miền; và ta xét bất kỳ f, g PO♣Dq sao cho f.g ✏0. Nếu f♣zq ✏0 với mọi z PD thì ta chứng minh xong. Ngược lại, nếu f ✘0, nghĩa là tồn tại cP D sao cho f♣cq ✘ 0, ta sẽ chứng minh g ✏0.
Thật vậy, vì hàm chỉnh hình cũng là hàm liên tục, nên tồn tại lân cận mở đủ nhỏ U của c sao cho f♣zq ✘0 trên U. Mà do f♣zqg♣zq ✏ 0cũng xảy ra trên U, nên dẫn đến rằng g♣zq ✏ 0trên U. Theo Định lý đồng nhất, ta có điều phải chứng minh.
Ngược lại, giả sử O♣Dqlà miền khả tắch nhưngD không liên thông.Dkhông liên thông nghĩa là D✏A❨B, vớiA và B là hai tập mở khác rỗng, rời nhau. Để chỉ ra
điều vô lý, ta đặt ★
f♣zq ✏1, z PA f♣zq ✏0, z PB,
và g♣zq ✏1✁f♣zq. Khi đó ta có f.g ✏0 trên D nhưng cả hai hàm này đều là hàm chỉnh hình khác không.
Định lý Ánh xạ mở.
Trước hết, ta nhắc lại khái niệm Ánh xạ mở trong Giải tắch hàm. Xét hai không gian topo X vàY, cPX, ánh xạ f :X ứY được gọi là ánh xạ mở tạicnếu với bất kỳ lân cận mở U ⑨X của c, ta có f♣Uq ⑨Y cũng là lân cận mở của f♣cq. Ánh xạ f được gọi là mở trênX nếu f là ánh xạ mở tại mọi điểm thuộcX.
Nếu ta xét X ✏ Y ✏C, thì một tập mở U trong X chứa một đĩa mở hai chiều thực, và nếuf là ánh xạ mở thìf♣Uqcũng chứa một đĩa mở hai chiều thực. Có nghĩa là qua ánh xạ mở, tập hai chiều thực không thể là một điểm, hay vô hạn đếm được các điểm hay thậm chắ không thể là một đường thẳng.
Lưu ý rằng, khái niệm này rất dễ bị nhầm lẫn với tắnh liên tục của ánh xạ. Ánh xạ f trên gọi là liên tục tại c P X nếu với mọi lân cận mở V ⑨ Y của f♣cq ta có ảnh ngược f✁1♣Vq là lân cận mở của ctrongX. Vắ dụ cơ bản nhất để phân biệt hai khái nịêm này là hàm sine thực. Ta biết rằng hàm sin♣xqkhả vi vô hạn lần trên R,
nhưng không phải là ánh xạ mở trên R vì sin♣Rq ✏ r✁1,1s là tập đóng. Ngược lại, hàm sin♣1④xq là ánh xạ mở tại x✏0 nhưng lại không liên tục tại x✏0.
Định lý 1.16 (Định lý Ánh xạ mở địa phương).
Nếu Dlà tập con mở của C, và f :DứClà hàm chỉnh hình và không là hàm hằng địa phương xung quanh cPD, thì f là ánh xạ mở tại c.
Chứng minh.
Vì f không là hàm hằng xung quanh c, nên nếu ta đặt g♣zq ✏ f♣zq ✁f♣cq thì c là không điểm cô lập của g. Nghĩa là ta tìm được một đĩa mở D♣c, rq ⑨ D sao cho D♣c, rq ❳Z♣D, gq ✏ tc✉. Do đó, mint⑤g♣zq⑤, zP bD✉ ✏ ộ→0.
Bây giờ, ta chứng minh rằng D♣f♣cq, r④2q ⑨ f♣D♣c, rqq. Xét bất kỳ w P D♣f♣cq, r④2q, chúng ta có, với z PbD♣c, rq
⑤f♣zq ✁w⑤ ✏ ⑤f♣zq ✁f♣cq ♣f♣cq ✁wq⑤ ➙ ⑤f♣zq ✁f♣cq⑤ ✁ ⑤f♣cq ✁w⑤ ➙ộ✁ ⑤f♣cq ✁w⑤
→ộ✁ộ④2✏ộ④2→ ⑤f♣cq ✁w⑤.
Bởi bổ đề về sự tồn tại không điểm, hàmf♣.q✁wcó không điểm thuộcD♣c, rq. Nghĩa là tồn tại z P D♣c, rq sao cho f♣zq ✏ w. Cuối cùng, mọi lân cận mở U của c luôn chứa đĩa mở D♣c, rq (có thể giảm r nếu cần thiết), và do đó vì f♣D♣c, rqq ⑨ f♣Uq nên ta có được điều cần chứng minh.
Ngay lập tức, ta có
Định lý 1.17 (Định lý Ánh xạ mở toàn cục).
Nếu D là tập con mở của C, và f :DứClà hàm chỉnh hình và không là hàm hằng địa phương xung quanh mọi điểm thuộc D, thì f là ánh xạ mở.
Ta còn có một phiên bản khác cho kết quả này như sau.
Định lý 1.18. Giả sử D ⑨C là một miền, và f :D ứ C là hàm chỉnh hình. Giả sử rằng tồn tại tập E ⑨ D sao cho f♣Dq ⑨ E và tồn tại c P D sao cho f♣cq P bE. Khi đó, f phải là hàm hằng.
Chứng minh.
Nếu f không là hàm hằng, thì f là ánh xạ mở, nên f♣Dq là một tập mở. Và do đó, f♣Dqlà tập con của phần trong củaE, nghĩa là f♣Dqkhông thể chứa điểm biên của E. Điều này mâu thuẫn với sự tồn tại của c.
Ta sẽ chứng minh rằng kết quả này cũng dẫn đến Định lý Ánh xạ mở. Giả sử f không là ánh xạ mở. Khi đó, f♣Dq không là tập mở, nên tồn tại một phần tử của f♣Dq, ta gọi là f♣cq, thuộc vào biên bf♣Dq. Điều này dẫn đến rằngf♣zq ✏f♣cq với mọi z P D. Ta vừa chứng minh rằng hàm chỉnh hình trên một miền phức hoặc là ánh xạ mở hoặc là hàm hằng. Mà tắnh hằng trên miền tương đương tắnh hằng địa phương, va do đó ta chứng minh xong Định lý Ánh xạ mở.
Ta minh họa kết quả này như sau. Giả sử D ✏ D♣0,1q là đĩa đơn vị, và E ✏ D♣0,1④2q. Nếu bất kỳ hàm f :D♣0,1q ứ Csao cho ⑤f♣zq⑤ ➔1④2 với mọiz P D♣0,1q và ⑤f♣0q⑤ ✏1④2thì f là hàm hằng trên đĩa đơn vị.
Tắnh chất Giá trị lớn nhất.
Định lý 1.19. Cho D là một tập mở trong C, và f : D ứ C là hàm chỉnh hình. Nếu ⑤f⑤ đạt cực đại địa phương tại cPD, thì f là hàm hằng địa phương tại c. Chứng minh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu cP Dlà điểm cực đại địa phương của ⑤f⑤, thì tồn tại một lân cận U ⑨D của c