Phương trình Cauchy-Riemann trên miền đa trụ

1 Hàm chỉnh hình một biến phức

3.3 Phương trình Cauchy-Riemann trên miền đa trụ

trụ

Đầu tiên, ta tìm hiểu về phương trình Cauchy-Riemann không thuần nhất trên đa trụ với việc tìm nghiệm là các hàm khả vi. Nghĩa là, với f♣zq ✏

n ➳ j✏1

fj♣zqdzốj là dạng vi phân loại ♣0,1q cho trước, có giá compact, có các hệ số thuộc lớp C1, tìm hàm ắt nhất thuộc lớp C2 sao cho

ố ❇u✏f.

Như đã biết, điều kiện cần để phương trình này có nghiệm là ố❇f ✏0. Hơn nữa, nếu ta viết tường minh hơn, giải phương trình Cauchy-Riemann trên chắnh là giải hệ

❇u ❇zốj

✏fj, với j ✏1, . . . , n, (3.3.1) khi các các điều kiện tương thắch

❇fj

❇zốk ✁ ❇fk

❇zốj ✏0, với mọi1↕j ➔k↕n (3.3.2) được thỏa.

Trong trường hợp n ✏1, thì phương trình (3.3.1) có nghiệm trong C và nghiệm này trơn và khác không tại mọi điểm trong C khi tắch phân Lebesgue của dữ liệu f PC0✽♣Cqthật sự khác không. Tuy nhiên, trongCn,n ➙2, thì điều này không còn xảy ra về mặt tổng quát.

Định lý 3.13.

Giả sử các hàm phức fj P C0k♣Cnq, j ✏ 1, . . . , n, n ➙ 2 và k → 0 và các fj thỏa các điều kiện tương thắch (3.3.2). Khi đó tồn tại hàm u PC0k♣Cnq là nghiệm của hệ phương trình Cauchy-Riemann (3.3.1).

Chứng minh.

Ta đặt

u♣zq:✏ 1 2πi

ẽ

đĩa mở nào đấy

f1♣τ, z2, . . . , znq τ ✁z1 dτ ❫dốτ ✏ ✁1 2πi ẽ

đĩa mở nào đấy

f1♣z1✁τ, z2, . . . , znq

τ dτ ❫dτ .ố

Đẳng thức thứ hai của u lần nữa chứng tỏ u là hàm thuộc lớp Ck khi f P Ck♣Cnq. Ngoài ra, do f có giá là tập con compact trong Cn, nên tắch phân này triệt tiêu khi ⑤z2⑤ . . . ⑤zn⑤đủ lớn.

Khi ta xem các biến z2, . . . , zn cố định thì bởi kết quả trong C, ta có ❇u

❇zố1 ✏f1.

Bây giờ, lấy đạo hàm theo các biến z2, . . . , zn và áp dụng các điều kiện tương thắch (3.3.2), ta được ❇u ❇zốj ✏ 1 2πi ẽ ❇f1♣τ, z2, . . . , znq ❇zốk 1 τ✁z1 dτ ❫dốτ ✏ 1 2πi ẽ ❇fk♣τ, z2, . . . , znq ❇τố 1 τ ✁z1 dτ❫dτ .ố (3.3.3)

Theo Công thức tắch phân Pompeiu-Cauchy thì đẳng thức cuối cùng chắnh là fk♣zq vì fk có giá là tập con compact trong Cn. Do đó,

❇u

❇zốj ✏fj, với mọi j ✏1, . . . , n.

Và vì thế, theo Định lý Hartogs thì u là hàm giải tắch phức bên ngoài tập compact chứa các supp(fj). Mặt khác,u♣zq ✏ 0khi⑤z2⑤ . . . ⑤zn⑤đủ lớn để có phần giao khác rỗng trong phần bù của tập compact này. Do đó, theo Định lý đồng nhất trong Cn

(xem phần bài tập), thìu✏0bên ngoài tập compact này. Nghĩa là uPC0k♣Cnq. Định lý này là một bước quan trọng trong chứng minh của Định lý Hartogs về sự mở rộng hàm giải tắch phức. Đây là định lý kinh điển đánh dấu sự thiết lập của Lý thuyết hàm phức nhiều biến, mà thật sự phân biệt với lý thuyết hàm phức một biến (n✏1). Định lý này đầu tiên được chứng minh bởi F. Hartogs và sau đó bởi phương pháp khác của L. Ehrenpreis, và còn được biết đến như là Định lý Osgood-Brown.

Tắnh chất thác triển của những hàm giải tắch phức trong định lý này còn được gọi là Hiện tượng Hartogs. Nói thêm, hiện nay, có rất nhiều phiên bản chứng minh Định lý kinh điển này, ở đây, chúng ta dựa trên phương pháp phương trình Cauchy-Riemann là chắnh.

Định lý 3.14 (Định lý thác triển Hartogs).

Cho Ω là một tập mở trong Cn, với n ➙ 2, và K ⑨ Ω là một tập con compact sao cho Ω③K là tập liên thông. Khi đó, với mỗi uP A♣Ω③Kq, ta tìm được U PA♣Ωq sao cho

u✏U trong Ω③K.

Lưu ý rằng định lý này không còn đúng trong C. Chẳng hạn như ta xét u♣zq ✏ 1 z, thì hàm này giải tắch phức trên C③t0✉. Tuy nhiên, không thể mở rộng hàm này một cách liên tục thành một hàm giải tich phức trên toàn mặt phẳng phứcC. Do đó, hiện tượng Hartogs không bao giờ xuất hiện trong lý thuyết Giải tắch phức một biến. Nói cách khác, chỉ trong không gian Cn, n ➙ 2, thì ta có thể ỘxóaỢ đi tập những điểm trong Ωmà tại đóf không giải tắch phức, để có được hàm mở rộng F giải tắch phức trên Ω.

Chứng minh Định lý thác triển Hartogs.

Xét K ⑨Ωlà tập compact sao cho Ω③K liên thông. Giả sửuPA♣Ω③Kq.

Ta xétϕ PC0✽♣Ωq sao cho ϕ ✏1trong một lân cận chứa K. Để ỘlấpỢ tậpK mà tại đó u không xác định, ta đặt

u0 :✏ ♣1✁ϕqu,

thì u0 ✏0 trên K và u0 PC✽♣Ωq. Ta sẽ tìm hàm v PC✽♣Ωq sao cho U :✏u0✁v

thỏa mãn các điều kiện trong Định lý.

Thật vậy, vì hàm U cần tìm phải là hàm giải tắch phức, nghĩa là ố❇U ✏ 0, nên điều kiện đầu tiên để tìm hàm v phải là

ố

❇v ✏ố❇u0 ✏ ✁u❇ốϕ:✏f. (3.3.4) Trong đó, f ✏0 trong K và bên ngoài Ωdo tắnh chất của ϕ, và vì thế f là dạng vi phân loại ♣0,1q có các hệ số thuộcC0✽♣Cnq. Hơn nữa, f thỏa mãn điều kiện cần của phương trình Cauchy-Riemann (3.3.4). Do đó, theo Định lý về sự tồn tại nghiệm ở

trên, thì ta tìm được hàm v thỏa phương trình (3.3.4) và hơn nữa hàm v này bằng không trên thành phần liên thông không bị chặn của phần bù của supp(ϕ). Ngoài ra, biên của thành phần này lại chứa trong Ω③K. Do đó, có một tập con V mở trong Ω③K sao cho v ✏0và u0 ✏u trên V, nghĩa là U ✏u0 trên V. Sự tồn tại của v dẫn đến tắnh giải tắch phức trên Ω của U. Nên theo Định lý đồng nhất, thì U ✏u trên toàn Ω③K.

Một kết quả khác của sự giải được cho phương trình Cauchy-Riemann cũng là hiện tượng mở rộng từ (n✁1) chiều đến n chiều phức như sau. Và một lần nữa, ta sẽ thấy kỹ thuật mở rộng được lặp lại tương tự như ở trên.

Định lý 3.15.

Cho Ωlà một tập mở trongCn, n➙2, và xét D✏Ω❳t♣z1, . . . , zn✁1,0q, z1, . . . , zn✁1 P

C✉ là tập mở trong Cn✁1. Khi đó bất kỳ hàm uP A♣Dq luôn có mở rộng thành hàm

U PA♣Ωq, nghĩa là U⑤D ✏u. Chứng minh.

Xét phép chiếu π : ♣z1, . . . , zn✁1, znq ỡứ ♣z1, . . . , zn✁1q :✏ z✶, và đặt B ✏ π✁1♣Cn✁1③Dq ❳Ω. Bây giờ, với ϕ P C✽♣Ωq và đồng nhất bằng 1 trên một lân cận của D, triệt tiêu trên Ω③B. Ta sẽ tìm hàmv P C✽♣Ωqsao cho

U :✏ ♣u✆πqϕ znv

là hàm mở rộng cần tìm. Lần nữa,U là hàm giải tắch phức dẫn đến rằngv thỏa mãn znố❇v ✏ ✁♣u✆πq❇ốϕ, hay ố ❇v ✏ ✁♣f✆πqố❇ϕ zn ,

đây chắnh là phương trình Cauchy-Riemann cần giải để tìm U. Nhận xét rằng vế phải là một dạng vi phân phức loại ♣0,1q xác định tốt vì ố❇ϕ✏0 trên tập tzn✏0✉, có các hệ số trơn trên Ω. Hơn nữa, bằng tắnh toán trực tiếp ta được

ố ❇ ✂ ♣f✆πqố❇ϕ zn ✡ ✏ ♣u✆πqố❇ ✂ố ❇ϕ zn ✡ .

Vế phải của đẳng thức cuối cùng triệt tiêu bên trong và bên ngoài lân cận của D, nghĩa là dạng vi phân đóng, nên lần nữa, kết quả sự tồn tại nghiệm sẽ kết thúc chứng minh của định lý.

Tiếp theo, ta sẽ mở rộng Định lý tồn tại nghiệm của phương trình Cauchy-Riemann không thuần nhất cho các dạng vi phân phức bậc cao hơn không có giá compact. Định lý 3.16 (Định lý Dolbeault-Grothendieck).

Xét D✏D1✂. . .✂Dn là một đa trụ mở trong Cn và f P C♣✽p,q 1q♣Dq, p, q ➙0 sao cho

ố ❇f ✏0.

Giả sử D✶ là tập con compact tương đối trong D. Khi đó, ta tìm được uP C♣✽p,qq♣D✶q

sao cho

ố ❇u✏f.

Nhắc lại rằng C♣✽p,qq♣Dqlà không gian các dạng vi phân phức loại ♣p, qq mà các hệ số của nó thuộc lớp C✽♣Dq.

Để chứng minh Định lý 3.16, ta cần một kết quả tắnh toán trên dạng vi phân sau. Định nghĩa 3.9.

Ta đặt C♣✽p,qq♣Ωqk là tập hợp các dạng vi phân phức f loại ♣p, qq không chứa các thành phần dzốk 1, . . . , dzốn, nghĩa là f có dạng

f ✏ ➳

⑤I⑤✏p,⑤J⑤✏q

fI,JdzI ❫dzốJ, với dzốJ ✏dzốj1 ❫. . .❫dzốjq, 1↕j1 ↕. . .↕jq ↕k. Chẳng hạn như C♣✽p,qq♣Ωq0 ✏ t0✉,C♣✽p,qq♣Ωqn✏C♣✽p,qq♣Ωq.

Rõ ràng bất kỳ f P C♣✽p,qq♣Ωqk thì ố❇f luôn được viết lại thành ố ❇f ✏ ➳ ⑤I⑤✏p,⑤J⑤✏q ➳ l→k ❇fI,J ❇zốl dzốl❫dzI ❫dzốJ h, với hPC♣✽p,q 1q♣Ωqk. (Chứng minh Định lý 3.16).

Ta dùng phương pháp quy nạp theo k để chứng minh Định lý. Rõ ràng, Định lý đúng trong C♣✽p,qq♣Ωq0. Giả sử kết quả này vẫn đúng trong C♣✽p,qq♣Ωqk, nghĩa là: với mỗi F P C♣✽p,q 1q♣Ωqk✁1, ta tìm được U P C♣✽p,qq♣Ωq sao cho ố❇U ✏ F. Bây giờ, xét f PC♣✽p,qq♣Ωqk, nghĩa là f không phụ thuộc vào dzốk 1, . . . , dzốn, khi đó ta viết

với g P C♣✽p,qq♣Ωqk✁1, h P C♣✽p,q 1q♣Ωqk✁1. Trong đó, g có thể được viết lại một cách duy nhất bởi

g ✏➳✶

⑤I⑤✏p,⑤J⑤✏qgI,JdzI ❫dzốJ, với 1↕j1 ➔. . .➔jq ↕k✁1.

Ở đây dấu tổng phẩy➳✶ nghĩa là ta thực hiện cộng theo các đa chỉ số mà các hệ số của nó tạo thành dãy số tăng ngặt.

Tác động toán tử ố❇vào biểu diễn trên của f có chứa dzốk, và nếu không quan tâm đến dấu 1,✁1của các hoán vị dạng vi phân, thì ta có

❇gI,J

❇zốj ✏0, với j →k, (3.3.5) nghĩa là gI,J giải tắch phức tách theo các biến zj, j →k. (Đến đây, ta không thể tìm nghiệm từ phương trình này vì không có giả thiết giá compact.)

Bây giờ, ta xét ψ PC0✽♣Dkq sao cho ψ♣zkq ✏1 trên một lân cận nào đấy là hình chiếu xuống chiều thứ k của DỢ⑨D và Dố✶ ⑨DỢ. Đặt

GI,J♣zq ✏ 1 2πi ẽ ψ♣τqgI,J♣z1, . . . , zk✁1, τ, zk 1, . . . , znq τ ✁zk dτ ❫dτố ✏ ✁ 1 2πi ẽ ψ♣zk✁τqgI,J♣z1, . . . , zk✁1, zk✁τ, zk 1, . . . , znq τ dτ ❫dτ .ố (3.3.6) Đến đây, theo Định lý 1.27 thì ❇GI,J ❇zốk ✏ψ♣zkq.gI,J♣zq, trên Dk và ❇GI,J ❇zốk ✏gI,J♣zq trên DỢ. Ngoài ra, do (3.3.5) nên

❇GI,J ❇zốj ✏0 với j →k. Với các thành phần này, ta đặt G✏➳✶ ⑤I⑤✏p,⑤J⑤✏qGI,JdzI ❫dzốJ.

Và do đó, trên DỢ ố ❇G✏➳✶I,J n ➳ j✏1 ❇GI,J ❇zốj dzốj ❫dzI ❫dzốJ ✏dzốk❫g h1,

trong đó h1 chứa tổng theo j từ 1 đến k ✁1 và không phụ thuộc vào dzốk, . . . , dzốn. Nghĩa là, hiệu h✁h1 cũng không liên quan đến dzốk, . . . , dzốn. Vì f ✁❇ốG ✏ h✁h1, nên theo giả thiết quy nạp (với F ✏f ✁ố❇G), ta tìm đượcv P C♣✽p,qq♣D✶q sao cho

ố

❇v ✏f✁ố❇G trên D✶, hay

ố

❇v ố❇G✏f trên D✶.

Và do đó, ta tìm được nghiệm u:✏v G thỏa phương trình (3.16) trênD✶, và điều này hoàn tất chứng minh.

Vắ dụ 12.

Giả sử D♣0, rq là đa trụ trong Cn, với r ✏ ♣r, . . . , rq và n➙2. Ta đặt

Q✏ t♣z1, . . . , znq PD♣0, rq:⑤zj⑤ ➔r④2, j ✏1, . . . , n✁1, hay ⑤zn⑤ ➙r④2✉.

Khi đó bất kỳ hàm giải tắch phức trên Q đều được mở rộng thành hàm giải tắch phức trên D♣0, rq.

Bổ đề Hartogs cũng dẫn đến việc nghiên cứu vài khái niệm quan trọng trong lý thuyết dạng vi phân phức.

Định nghĩa 3.10. Giả sử Ωlà một tập con mở trong Cn. Dạng vi phân phứcϕP C♣✽p,qq♣Ωq được gọi là ❇ố-đóng nếu

ố ❇ϕ✏0.

Dạng vi phân phức ϕ P C♣✽p,qq♣Ωq được gọi là ❇ố-khớp nếu tồn tại ψ P C♣✽p,q✁1q♣Ωq sao cho

ố

❇ψ ✏ϕ trên Ω.

Rõ ràng vì ố❇ố❇ ✏ 0 nên một dạng vi phân là ố❇-khớp thì cũng là ❇-đóng. Chú ý rằngố tất cả các dạng vi phân loại ♣p, nq trong Cn đều là dạng vi phân loại❇ố-đóng.

Bây giờ, ta xét toán tử ố❇♣p,qq như là một ánh xạ tuyến tắnh từ C♣✽p,qq♣Ωq vào C♣✽p,q 1q♣Ωq. Khi đó,

Ker♣ố❇q♣p,qq:✏ tdạng vi phân phức♣p, qq thuộc loại ố❇-đóng✉

Im♣❇qố ♣p,q✁1q:✏ tdạng vi phân phức♣p, qq thuộc loại ố❇-khớp✉. (3.3.7) Dễ dàng thấy rằng Im♣ố❇q♣p,q✁1q ⑨Ker♣ố❇q♣p,qq, và là nhóm con chuẩn tắc. Do đó định nghĩa sau là được xác định:

Định nghĩa 3.11 (Nhóm đối đồng điều ố❇-De Rham).

Nhóm đối đồng điều ố❇-De Rham của miền Ωlà các không gian vector được cho bởi

K♣p,qq♣Ωq:✏ Ker♣ố❇q♣p,qq

Im♣ố❇q♣p,q✁1q.

Những nhóm này gắn bó chặt chẽ với tắnh giải được của phương trình Cauchy- Riemann nhiều chiều. Cụ thể khi nào thì Ker♣ố❇q♣p,qq ✏ Im♣ố❇q♣p,q✁1q, nghĩa là

K♣p,qq♣Ωq ✏ 0. Trong các nội dung sau, chúng ta sẽ nghiên cứu về tắnh triệt tiêu của nhóm này, nghĩa là miền Ωvà q như thế nào thìK♣p,qq♣Ωq ✏0.

[1] Chen, S. C.; Shaw, M. C., Partial differential equations in several complex variables.AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 19. American Mathemat- ical Society, Providence, RI; International Press, Boston, MA, 2001. xii+380 pp. [2] W. Ebeling, ỘFunctions of Several Complex Variables and Their SingularitiesỢ,

Grad. Stud. Maths., Vol. 83, AMS, 2007.

[3] T. W. Gamelin, ỘComplex AnalysisỢ, Springer - Verlag New York, Inc, 2001.

[4] G. De Marco, ỘBasic Complex AnalysisỢ, Lecture notes given at Università Degli Studi Di Padova, Italy, 2011.

[5] G. De Marco, ỘSelected Topics of Complex AnalysisỢ, Lecture notes given at Università Degli Studi Di Padova, Italy, 2012.

[6] Krantz, Steven G., Function theory of several complex variables. Sec- ond edition. The Wadsworth- Brooks /Cole Mathematics Series. Wadsworth- Brooks/Cole Advanced Books-Software, Pacific Grove, CA, 1992. xvi+557 pp. [7] W. Rudin, ỘFunction Theory in the Unit Ball of CnỢ, Springer-Verlag New

York Heidelberg Berlin,1980.

[8] W. Rudin, ỘReal and Complex AnalysisỢ, 3d ed., McGraw-Hill Book Company, Singapore, 1987.

[9] G. Zampieri, ỘComplex Analysis and CR GeometryỢ, A. M. S ULECT 43, 2008.