C xyclic |g()| P
2) cũng là một nghiệm của đa thứcf(x) =x3− 2 Lưu ý rằng E là trường con của R Vì thế δ ( √
2)phải là một nghiệm thực củaf(x), do đóδ(√3 phải là một nghiệm thực củaf(x), do đóδ(√3
2) = √3
2.Chứng tỏ
δ=idE.) Như vậy,EG ={β∈E|δ(β) =β,∀δ∈G}=E6=F.
Định lý 4.7ChoE/F là mở rộng hữu hạn có nhóm Galois G=Gal(E/F). Khi đó các mệnh đề sau là tương đương. (i)F =EG; (ii) Nếu p(x)∈F[x]là đa thức bất khả quy trênF có một nghiệm trongE thì nó tách được và có mọi nghiệm trong E (tức làp(x) tách được và phân rã trên E);
Chứng minh(i)⇒(ii)Cho p(x)∈F[x]là đa thức bất khả quy và nó có một nghiệmα∈E. Giả sử β1, . . . , βn là tất cả các phần tử phân biệt của tập{σ(α)|σ∈G}(lưu ýα = 1E(α)
∈ {β1, . . . , β2}). Đặt g(x) =Qn
i=1(x−βi)∈E[x]. Lấy tùy ý
σ∈G, khi đó σ là một hoán vị của{β1, . . . , βn}. Mặt khác vì các hệ tử củag(x) là những đa thức đối xứng củaβ1, . . . , β2, nên các hệ tử củag(x) bất biến quaσ. Chứng tỏ g(x)∈EG[x] =F[x]. Suy rap(x)|g(x). Từ đó vì g(x) là đa thức tách được nênp(x)
cũng tách được và phân rã hoàn toàn trongE.
(ii)⇒(iii) Chọnα1 ∈E\F. VìE/F là mở rộng hữu hạn nên nó là mở rộng đại số, do đóα1 đại số trênF; lấyp1(x)∈F[x]là đa thức bất khả quy củaα1. Theo giả thiết (ii), ta có p1(x) là đa
thức tách được và phân rã hoàn toàn trongE. LấyK1⊆E là
trường phân rã củap1(x) trênF.
•Bài tập Chương 4
NếuK1 =E thì ta có điều phải chứng minh. NếuK1 6=E, ta chọnα2∈E\K1. Khi đó tồn tại đa thức bất khả quy của α2 là
p2(x)∈F[x], hơn nữap2(x)là đa thức tách được và phân rã hoàn toàn trongE. LấyK2 ⊆E là trường phân rã củap1(x)p2(x)(rõ
ràng đó cũng là đa thức tách được). NếuK2 =E thì ta có điều
phải chứng minh. NếuK26=E thì ta lặp lại quá trình này, và nó
phải kết thúc sau hữu hạn bước khiKm =E vớim >0nào đó (vì
E/F là mở rộng hữu hạn).
(iii)⇒(i)Theo Định lý 4.5 ta có[E :EG] =|G|. Mặt khác, vì
E/F là trường phân rã của một đa thức tách được nên
[E :F] =|Gal(E/F)|=|G|. Do đó EG=F.
Định nghĩa 4.8Một mở rộng hữu hạn E/F gọi là mở rộng Galois
nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương của Định lý 4.7.
Định nghĩa 4.9Cho mở rộng trườngE/F, một trường trung gian
của mở rộngE/F là một trường con B củaE thỏa mãn
F ⊆B ⊆E.
Định nghĩa 4.10ChoE/F là một mở rộng Galois. Giả sửB và C
là các trường trung gian của mở rộngE/F. Nếu tồn tại một đẳng
cấu trường từB đến C cố định F theo từng điểm thìC được gọi
làliên hợpcủaB.
Định lý 4.11ChoE/F là một mở rộng Galois vàB là một trường
trung gian của mở rộngE/F. Khi đó các mệnh đề sau là tương
đương.
(i)B không có liên hợp nào ngoài bản thân nó.
(ii) Nếuσ ∈Gal(E/F), thìσ|B∈Gal(B/F). (iii)B/F là mở rộng Galois.
•Bài tập Chương 4
Chứng minh(i)⇒(ii)Lấy tùy ýσ∈Gal(E/F). VìB không có liên hợp nào ngoài bản thân nó nênσ(B) =B. Suy raσ|B ∈Gal(B/F).
(ii)⇒(iii)Chop(x)∈F[x]là đa thức bất khả quy có một nghiệm
β∈B. VìE/F là mở rộng Galois vàB⊆E, nên theo Định lý 4.7, ta có
p(x)tách được và phân rã hoàn toàn trênE. Lấyβ0∈E là một nghiệm tùy ý củap(x). Khi đó tồn tại một đẳng cấuτ:F(β)→F(β0)cố định