Bài tập Chươn g
2.1 Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 2.1Một đẳng cấu trường từE vào chính nó được gọi
là mộttự đẳng cấu củaE. Giả sửE/F là một mở rộng trường và
σ là tự đẳng cấu củaE, khi đó ta nóiσ cố định F theo từng điểm
nếuσ(a) =avới mọi a∈F (tức làσ|F =idF).
Bổ đề 2.2Cho mở rộng trườngE/F và f(x)∈F[x]. Giả sửσ là tự đẳng cấu củaE cố địnhF theo từng điểm vàα là một nghiệm củaf(x). Khi đó σ(α) cũng là một nghiệm của f(x).
Chứng minhGiả sử f(x) =Pn
i=0aixi, khi đó 0 =Pn
i=0aiαi. Ta
tác độngσ vào hai vế ta được
0 =Pn
i=0σ(ai)σ(α)i =Pn
i=0aiσ(α)i (doσ cố địnhF theo từng điểm). Do đóσ(α) cũng là một nghiệm củaf(x).
Định nghĩa 2.3ChoE/F là một mở rộng trường. Khi đónhóm GaloacủaE/F, kí hiệu làGal(E/F), là nhóm được xác định bởi
Gal(E/F) =
={σ|σ là tự đẳng cấu củaE cố định F theo từng điểm}
trong đó phép toán hai ngôi là phép hợp thành các ánh xạ. Nếu
f(x)∈F[x]có trường phân rã trên F làE thì ta gọi Gal(E/F)
là nhóm Galoa củaf(x).
Định lý 2.4Chof(x)∈F[x]có nnghiệm phân biệt trong trường phân rãE (củaf(x) trên F), thì nhómGal(E/F) đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứngSn, và do đó cấp của nó là ước củan!.
Chứng minhĐặtX ={α1, . . . , αn} là tậpn nghiệm phân biệt của
f(x) trong E. Theo Bổ đề 2.2, với mỗiσ ∈Gal(E/F), ta cóσ|X
là một hoán vị củaX. Do đó có đơn cấuGal(E/F)→SX(∼=Sn)
Hệ quả 2.5Cho f(x)∈F[x]là đa thức tách được và trường phân rã củaf(x)trên F là E. Khi đó|Gal(E/F)|= [E:F]. Chứng minhÁp dụng Định lý 1.17 (ii) với F =F,E =E và
ϕ:F →F là ánh xạ đồng nhất idF. Khi đó có chính xác[E :F]
tự đẳng cấu củaE cố địnhF theo từng điểm.
Ví dụ 1. Vìx2+ 1là tách được và [C:R] = 2nên theo Hệ quả 2.5 suy ra|Gal(C/R)|= 2.
Ví dụ 2. GọiE là trường phân rã củaf(x) =x3−1 trênQ. Ta có
f(x) = (x−1)(x2+x+ 1), suy ra E chính là trường phân rã của
g(x) =x2+x+ 1 trênQ. Dog(x)có hai nghiệm phân biệt là εvà
ε2 =εvớiε=−1 2+ √ 3 2 i, nênE =Q(ε, ε 2) =Q(ε). Mặt khác do
g(x)bất khả quy nên[E :Q] = deg(g(x)) = 2. Từ đó vì g(x)tách được nên|Gal(E/Q)|= [E :Q] = 2(theo Hệ quả 2.5). Cụ thể, nhómGal(E/Q) ={σ1, σ2}, trong đóσ1,2:a+bε7−→a±bε.
Ví dụ 3. GọiE là trường phân rã của f(x) =x3−2 trênQ. Ta thấyf(x) có ba nghiệm làα, αε, αε2 trong đó α=√32 và
ε=−1 2 + √ 3 2 i. Khi đó E=Q(α, αε, αε2) =Q(α, αε) =Q(α, ε).
Ta tính|Gal(E/Q) =?Vìf(x)tách được, nên theo Hệ quả 2.5 ta có
|Gal(E/Q)|= [E :Q] = [Q(α, ε) :Q] = [Q(α, ε) :Q(α)][Q(α) :Q].
Ta thấy[Q(α) :Q] = deg(f(x)) = 3(vì f(x) là đa thức tối tiểu củaα trên Q). Mặt khác, đa thứcg(x) =x2+x+ 1∈Q(α)[x]có hai nghiệmε, ε2 ∈/ Q(α), nêng(x) bất khả quy trênQ(α) và nó là đa thức tối tiểu củaεtrên Q(α). Do đó
[Q(α, ε) :Q(α)] = deg(g(x)) = 2. Vậy |Gal(E/Q)|= 2×3 = 6.
Định lý 2.6ChoF ⊆B ⊆E là một tháp trường trong đóE là trường phân rã củaf(x)∈F[x]trên F, và B là trường phân rã củag(x)∈F[x]trênF. Khi đó
(i)Gal(E/B) là nhóm con chuẩn tắc của nhómGal(E/F), và (ii)Gal(E/F)/Gal(E/B)∼=Gal(B/F).
Chứng minhChoσ∈Gal(E/F). Kí hiệu α1, . . . , αn là các nghiệm phân biệt củag(x) trong E, khi đó B =F(α1, . . . , αn). Ta có
σ(B) =σ(F(α1, . . . , αn)) =F(σ(α1), . . . , σ(αn)) =B.Chứng tỏ
σ|B∈Gal(B/F)). Ta lấy ánh xạψ:Gal(E/F)→Gal(B/F),
σ7−→σ|B. Khi đó ψlà một đồng cấu nhóm có
Kerψ=Gal(E/B). Hơn nữa, lấyτ ∈Gal(B/F), chú ý rằng E
cũng là trường phân rã củaf(x) trên B, khi đó từ Định lý 1.17
suy ra tồn tại tự đẳng cấuτ :E→E là một mở rộng củaτ; do
đóψ(τ) =τ |B=τ.Suy raψ là toàn cấu; do đó
Gal(E/F)/Gal(E/B)∼=Gal(B/F).