L ỜI NĨI ĐẦU
3.2.2 Tính chất trực giao của các véc tơ riêng
Xét phƣơng trình vi phân dao động tự do khơng cản của hệ n bậc tự do
M𝐪 +𝐂𝐪=𝟎 (2.15) c1 c2 q1 q2 m1 m2 v11 v21 v12 v22 Dao động riêng thứ nhất
94
Nếu các ma trận khối lƣợng M và ma trận độ cứng C là các ma trận thực đối xứng thì các véc tơ riêng vk tƣơng ứng với các tần sốriêng ωk sẽ trực giao với ma trận khối lƣợng M và ma trận độ cứng C. Ta cĩ các hệ số
𝐯jT𝐌𝐯i = 0; 𝐯jT𝐂𝐯i = 0 khi ωi ≠ ωj (2.16) Ta sẽ chứng minh tính chất trên. Chú ý đến ký hiệu (2.6), từ phƣơng trình (2.5) ta suy ra
ωi2𝐌𝐯i =𝐂𝐯i (2.17) ωi2𝐌𝐯i =𝐂𝐯i (2.18) Nhân bên trái từphƣơng trình (2.17) với 𝐯jTphƣơng trình (2.18) 𝐯iT ta đƣợc ωi2𝐯jT𝐌𝐯i =𝐯jT𝐂𝐯i (2.19) ωj2𝐯iT𝐌𝐯j =𝐯iT𝐂𝐯j (2.20) Do tính chất đối xứng của các ma trận M và C ta cĩ
𝐯jT𝐌𝐯i =𝐯iT𝐌𝐯j; 𝐯jT𝐂𝐯i = 𝐯iT𝐂𝐯j (2.21) Đem phƣơng trình (2.19) trừđi phƣơng trình (2.20) và chúý đến tính chất (2.21) ta suy ra.
(ωi 2−ωj 2 𝐯jT𝐌𝐯i = 0 (2.22) Do đĩ𝐯jT𝐌𝐯i = 0 khi ωi ≠ ωj. Từ 2.19 ta suy ra 𝐯jT𝐂𝐯i = 0 khi ωi ≠ ωj Chú ý rằng nếu ωi2 =ωj2 thì từ (2.22) ta khơng thể suy ra tính chất trực giao của các véc tơ riêng tƣơng ứng.
Giả sửωi2 là một nghiệm bội k củaphƣơng trình đặc trƣng. Do M = MT , C = CT nên ứng với ωi2 ta sẽ cĩ k véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Các véc tơ trực giao với (n- k) véc tơ riêng cịn lại. Mỗi tổ hợp tuyến tính của k véc tơ riêng này lại là một véc tơ riêng tƣơng ứng với ωi2. Nhƣ thế từ k véc tơ riêng nàyta cĩ thể xây dựngmột cơ sở trực giao đối với M của khơng gian con của Rn. Xây dựng tƣơng tựđối với các trị riêng bội khác của phƣơng trình đặc trƣng, kết quảta đƣợc n véc tơ riêng trực giao với M.