L ỜI NĨI ĐẦU
3.3.1 Phƣơng pháp giải trực tiếp (ma trận cản tùy ý)
a) Phương trình xác định giá trị riêng
Ta tìm nghiệm của phƣơng trình (3.1) dƣới dạng
105
Thế biểu thức nghiệm (3.2) vào phƣơng trình (3.1) rồi đơn giản đi thừa số eλ t, ta nhận đƣợc phƣơng trình của bài tốn giá trị riêng tổng quát
λ2𝐌+λ𝐁+ C 𝐪 = 0 (3.3) Điều kiện cần để cho các phần tử của véc tơ 𝒒 khơng đồng thời triệt tiêu là 𝑃 𝜆 =𝑑𝑒𝑡 λ2𝐌+λ𝐁+ C = 0 (3.4) Phƣơng trình (3.4) đƣợc gọi là phƣơng trình đặc trƣng. Khi M là ma trận chính qui, det M ≠ 0, thì P(λ) là đa thức bậc 2n của λ với hệ số thực. Giải phƣơng trình (3.4) ta cĩ đƣợc 2n nghiệm thực hoặc phức liên hợp. Trong đĩ nếu λi là nghiệm bội m thì
xem m là nghiệm. Các trị riêng phức và thực của (3.3) cĩ thể viết dƣới dạng λk =−δk + iωk ,λk+s =−δk −iωk , k = 1,…, s≤n
λk =−δ k, k = 2s + 1,…,2n
b, Phân tích các khảnăng dao động theo các trị riêng
- Trường hợp trị riêng cĩ phần thực âm khác khơng
Định nghĩa : Khi δk > 0 (k =1, …, s), δ k > 0 (k = 2s+1, …, 2n) thì cản đƣợc gọi là đạt yêu cầu.
Khi cản đạt yêu cầu thì hệ thực hiện dao động tự do tắt dần. Hệ dao động là ổn định tiệm cận. Tùy theo tính chất của chuyển động của hệ, ta cĩ thể phân ra thành ba trƣờng hợp sau :
Cản yếu : s = n, ωk ≠ 0 (k = 1,…,n)
Cản mạnh: λk = -δ k < 0, (k = 2s+1, …,2n), Cản hỗn hợp: trƣờng hợp cịn lại.
Trong trƣờng hợp cản yếu, hệ thực hiện chuyển động dao động. Trong trƣờng hợp cản mạnh, hệ thực hiện chuyển động tắt dần
- Các trường hợp khác:
Khi trị riêng λk cĩ δk = 0 hoặc δ k = 0, nghiệm riêng tƣơng ứng với λk sẽ bị chặn. Hệ (3.1) ổn định giới hạn.
Khi phƣơng trình (3.3) cĩ trị riêng λk cĩ phần thực dƣơng thì nghiệm riêng tƣơng ứng với λk sẽ tăng lên vơ cùng khi t tăng. Hệ khơng dao động. Ta khơng xét trƣờng hợp này.
c) Các véc tơ riêng
Ứng với trị riêng λk , từ hệphƣơng trình (3.3) ta cĩ:
(𝜆𝑘2M + λk B + C) 𝐪 k = 0 (3.5) Từ(3.5) ta xác định đƣợc các véc tơ riêng 𝐪 k. Nhe đã biết từđại số tuyến tính, nếu nghiệm của phƣơng trình (3.4) là nghiệm đơn hoặc nếu là nghiệm bộ mà bội đại số bằng bội hình học, thì các véc tơ riêng tƣơng ứng sẽ độc lập tuyến tính.Ta cĩ thể sắp xếp 2n trị riêng λk ứng với 2n véc tơ riêng. Các véc tơ riêng đƣợc xác định phức liên
106
hợp là các véc tơ phức, cịn các véc tơ riêng ứng với các trị riêng thực là các véc tơ thực.
Các véc tơ riêng của hệ dao động tự do cĩ cản nĩi chung khơng trực giao với ma trận khối lƣợng M, ma trận cản B và ma trận độ cứng C. Tuy nhiên, nếu giả sửa cĩ tồn tại một trị riêng λk mà δk = 0. Khi đĩ ta cĩ
λk = iωk, 𝜆k+s = -iωk (3.6)
Thế(3.6) vào phƣơng trình (3.5) ta đƣợc (-ωk2 M + i ωkB + C)qk = 0 (-ωk2 M - i ωkB + C)qk = 0 Cộng hai phƣơng trình trên ta đƣợc
(-ωk2 M + C)qk = 0 , ωk B qk = 0 (3.7) Từ (3.7) ta suy ra qk là véc tơ riêng của hệdao động tự do khơng cản. Khi M và
C là các ma trận đối xứng thì qk trực giao với M và C
d)Nghiệm tổng quát của bài tốn doa động tự do cĩ cản yếu
Trong trƣờng hợp hệ cĩ cản yếu, ta cĩ
λk = -δk + iωk, 𝜆k+n = -δk- iωk, k = 1,…,n Trong trƣờng hợp này ta đặt
qk = uk + ivk, qk+n = uk - ivk
Nghiệm riêng tƣơng ứng với cặp trị riêng λk và 𝜆k+n cĩ dạng
𝐪k t = Ckeλkt 𝐮 k + i𝐯 k + Dkeλk +nt 𝐮 k −i𝐯 k (3.8)
Với Ck,Dk là các hằng số phức. Nếu ta đƣa vào các hằng số tích phân mới Ck = Ck +Dk, Dk = i(Ck -Dk)
Thì biểu thức (3.8) cĩ dạng
𝐪k t = e−δkt Ck𝐮 k +Dk𝐯 k cosωkt + Dk𝐮 k −Ck𝐯 k sinωkt (3.9) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình dao động tự do cĩ cản (3.1) cĩ dạng
𝐪 t = 𝐪k(t) n
k=1
Chú ý: Do uk và vk nĩi chung khơng tỷ lệ với nhau nên các tọa độ của véc tơ qk cĩ pha khác nhau