5.1 Đặt vấn đề
Trong không gian véctơ nchiềuV giả sử có hai cơ sở
B = (e1,e2, . . . ,en) vàB′ = e′1,e2′, . . . ,e′n
Kí hiệu[v]B = [v1,v2, . . . ,vn]t là toạ độ cột của véctơv ∈ Vtrong cơ sởB. Hãy tìm mối liên hệ giữa[v]B và [v]B′
5.2 Ma trận chuyển
Định nghĩa 3.18. Nếu tồn tại ma trận Pthoả mãn
[v]B = P[v]B′ với mỗi v∈ V thì ma trận Pđược gọi là ma trận chuyển cơ sở từB sangB′.
Bổ đề 3.19. Với mỗi cặp cơ sởB vàB′củaV thì ma trận chuyển cơ sở từB sangB′tồn tại duy nhất và được xác định theo công thức
P =[e1′]B[e′2]B. . .[e′n]B
Định lý 3.20. Nếu Plà ma trận chuyển cơ sở từ cơ sởB sang cơ sởB′thì (a) P khả đảo (tức làP không suy biến,detP6=0)
(b) P−1là ma trận chuyển cơ sở từ B′ sang cơ sởB
5.3 Bài tập
Bài tập 3.15. TrongP3[x]cho các véc tơv1 =1,v2=1+x,v3= x+x2,v4 =x2+x3. a) Chứng minhB ={v1,v2,v3,v4}là một cơ sở của P3[x].
b) Tìm toạ độ của véc tơv=2+3x−x2+2x3 đối với cơ sở trên. c) Tìm toạ độ của véc tơv= a0+a1x+a2x2+a3x3đối với cơ sở trên.
Bài tập 3.16. Cho KGVT P3[x] với cơ sở chính tắc E = 1,x,x2,x3 và cở sở khác B =
{1,a+x,(a+x)2,(a+x)3}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ Esang Bvà ngược lại từ B sang
CHƯƠNG 4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm
Định nghĩa 4.1. Ánh xạ T : V → W từ không gian véctơV tới không gian véctơ W được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu
(i) T(u+v) = T(u) +T(v),∀u,v ∈V
(ii) T(ku) =kT(u),∀k ∈R,u ∈ V
Một số tính chất ban đầu của ánh xạ tuyến tính:
Định lý 4.2. Cho T : V → W là ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơV tới không gian véctơW. Khi đó
a) T(0) =0.
b) T(−v) = −T(v),∀v∈ V.
c) T(u−v) = T(u)−T(v),∀u,v ∈V.
1.2 Bài tập
Bài tập 4.1. Cho V là KGVT, V∗ = Hom(V,R) = {f : V → R, f là ánh xạ tuyến tính}. Giả sửV có cơ sở{e1,e2, ...,en}. Xét tập hợp{f1, f2, ..., fn}trong đó fi(ej) =
1nếui = j
0nếui 6= j .
Chứng minh. Muốn chứng minh{f1, f2, ..., fn}là một cơ sở củaV∗, ta sẽ chứng minh nó là một hệ sinh củaV∗ và độc lập tuyến tính.
1. Chứng minh{f1, f2, ..., fn}là một hệ véctơ độc lập tuyến tính. Giả sử có ràng buộc tuyến tính
λ1f1+λ2f2+. . .+λnfn =0 (1)
Tác động hai vế lên véctơe1ta được
λ1f1(e1) +λ2f2(e1) +. . .+λnfn(e1) = 0 (2)
Theo định nghĩa thì f1(e1) = 1, f2(e1) = 0, . . . ,fn(e1) = 0 nên từ (2) suy ra λ1 = 0. Tương tự như vậy, nếu tác động hai vế của(1)lêne2ta được λ2=0, . . ., tác động hai vế của(1) lênen ta được λn =0. Vậy λ1= λ2 =. . . =λn =0, hệ véctơ đã cho độc lập tuyến tính.
2. Chứng minh{f1, f2, ..., fn}là hệ sinh của V∗.
Giả sử f ∈ V∗, khi đó f(e1), f(e2), . . . ,f(en)là các số thực xác định. Ta sẽ chứng minh
f = f(e1)f1+ f(e2)f2+. . .+ f(en)fn
Thật vậy, với mỗix ∈ V,x=λ1e1+λ2e2+. . .+λnen thì
f(x) =λ1f(e1) +λ2f(e2) +. . .+λnf(en) Mặt khác [f(e1)f1+ f(e2)f2+. . .+ f(en)fn] (x) = [f(e1)f1+ f(e2)f2+. . .+ f(en)fn] (λ1e1+λ2e2+. . .+λnen) = n ∑ i,j=1 λif(ej)fj(ei) = n ∑ i=j=1 λif(ei) =f(x)