4 Trị riêng và véctơ riêng
4.3 Chéo hoá ma trận
Đặt bài toán:
Bài toán 1: Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều, T : V → V là một toán tử tuyến tính. Ta đã biết rằng ma trận củaT phụ thuộc vào cơ sở đã chọn trongV. Hỏi có tồn tại một cơ sở trongV trongVsao cho ma trận củaTđối với cơ sở đó là ma trận chéo.
Bài toán 2: (Dạng ma trận). ChoA là một ma trận vuông. Hỏi có tồn tại hay không một ma trậnPkhả đảo sao cho P−1APlà một ma trận chéo.
Định nghĩa 4.25 (Ma trận chéo hoá được). Cho ma trận vuôngA. Nếu tồn tại ma trận khả đảo P sao cho P−1APlà một ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo hoá được và ma trậnP làm chéo hoá ma trậnA.
Định lý 4.26. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để Achéo hoá được là nó cónvéctơ riêng độc lập tuyến tính.
Định lý 4.27 (Điều kiện cần và đủ cho sự chéo hoá). Tự đồng cấu f của không gian véctơnchiều V chéo hoá được nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
(i) Đa thức đặc trưng của f có đủ nghiệm trongR:
Pf(X) = (−1)n(X−λ1)s1(X−λ2)s2. . .(X−λm)sm
(ii) rank(f −λiidV) = n−si (vớii = 1, 2, . . . ,m), ở đây si là bội của λi xem như nghiệm của đa thức đặc trưng.
Quy trình chéo hoá một ma trận
1. Tìmnvéctơ riêng độc lập của A:
p1,p2, . . . ,pn
2. Lập ma trậnP có p1,p2, . . . ,pn là các cột.
3. Khi đó ma trận Psẽ làm chéo hoá ma trận A, hơn nữa
P−1AP=diag[λ1,λ2, . . . ,λn]
trong đóλi(i=1, 2, . . . ,n)là các trị riêng ứng với véctơ riêng pi.
Bổ đề 4.29. Nếu A,B là các ma trận đồng dạng thìrank(A) =rank(B).
Chứng minh. Thật vậy, giả sử B=P−1APvới Plà một ma trận khả nghịch. Khi đó,
rank(B) = rank(P−1AP) ≤rank(A).
Mặt khác, A =PBP−1 nên
rank(A) = rank(PBP−1) ≤rankB.
Do đó,rank(A) =rank(B).
Ví dụ 4.2 (Olympic Toán học Sinh viên Toàn quốc 2018 - Bảng A). Cho ma trận
A= 2 4 −3 4 6 −5 8 12 −10 .
Tìm số nguyên dươngN nhỏ nhất sao chorank(Ak) = rank(Ak+1)với mọi k≥ N.
[Lời giải] Chéo hóa ma trận Ata được
A∼B = 0 1 0 0 0 0 0 0 −2 . Do đó, Ak ∼ Bk = 0 0 0 0 0 0 0 0 (−2)k
Ví dụ 4.3 (Olympic Toán học Sinh viên Toàn quốc 2018 - Bảng A). a) Giả sửX,A
là các ma trận vuông với hệ số thực thỏa mãnX2 =A. Chứng minh rằng AX =XA.
b) Tìm số các ma trận vuôngX với hệ số thực thỏa mãnX2 = A=
1 0 1 0 4 2 0 0 16 . [Lời giải] a) Ta có XA=X3= AX.
b) Ta códet(A−λI) = −(λ−1)(λ−4)(λ−16).Như vậy Acó ba trị riêng phân biệt là
λ1 =1,λ2 =4,λ3 =16nên có thể chéo hóa Abằng ma trận Pkhả nghịch,
A =P−1DP, ở đó D= 1 0 0 0 4 0 0 0 16 ⇒ PX2P−1 =PAP−1 =D.
ĐặtY= PXP−1thì phương trình ban đầu trở thành
Y2 =D. (4.5)
Theo câu a) ta có DY = YD ⇒ Y phải là một ma trận đường chéo. Gọi y1,y2,y3 lần lượt là các hệ số trên đường chéo củaY. Ta có
(4.5) ⇔y21 =1,y22 =4,y23=16⇔(y1,y2,y3) = (±1,±2,±4).
Phương trình (4.5) có đúng 8 nghiệm nên phương trình ban đầu cũng có đúng 8
nghiệm.
Bài tập 4.14. [Cuối kì, K61] Cho ma trận vuông Athỏa mãn A2 = I. Chứng minh rằng
Achéo hóa được.
Ma trận có tính chất A2 =I được gọi là ma trận đối hợp. Xem thêm về ma trận đối hợp và chứng minh của Bài tập 4.14 ở Phụ lục A3.
Bài tập 4.15. Cho ma trận vuông A thỏa mãn A2 = A. Chứng minh rằng A chéo hóa được.
Ma trận có tính chấtA2 = Ađược gọi là ma trận lũy đẳng. Xem thêm về ma trận lũy đẳng và chứng minh của Bài tập 4.15 ở Phụ lục A2.