Định nghĩa: Cho hai biến cố có liên quan đến một phép thử. Hai biến cố đó được gọi là độc lập nếu xác suất xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
A và B độc lập khi và chỉ khi P A B . P A P B( ). ( ) d) Tính chất ) 0 ( ) 1 ) 1 P A P A P A � � 3.2. Các dạng bài tập
3.2.1. Tính xác suất của biến cố dựa vào định nghĩa cổ điển.
Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên 2 lá bài trong bộ bài 52 lá. Tính xác suất để trong 2 con được chọn có đúng 1 con át.
Gọi A: “Trong 2 con được chọn có đúng một con át” Bộ bài có 4 con át nên có C414cách chọn quân át Có 48 cách chọn quân bài còn lại ( 52 – 4 át = 48).
số phần tử biến cố A C 41.48. Vậy P A( )13264.48 0,145
Ví dụ 2: Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để kết quẩ gieo được nhiều nhất một mặt sấp (S).
Giải: Mô tả không gian mẫu S SN NN NS, , , S , không gian mẫu có 4 phần
tử
Biến cố gieo được nhiều nhất 1 mặt sấp là ASN NN N; ; S , biến cố A có 3 phần tử nên
3( ) ( )
4
P A
Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên một viên bi trong bình đựng 6 viên bi đen và 4 viên bi trắng. Tính xác suất để chọn được một viên bi trắng.
Giaỉ:
Chọn ngẫu nhiên một viên bi trong bình đựng 10 bi thì có 10 cách chọn
10n n � Gọi A: “Chọn được một bi trắng” Có 4 cách chọn 1 bi trắng trong 4 bi trắng �n A 4 Nên 4 ( ) 10 P A
Ví dụ 4: Chọn ngẫu nhiên 13 con bài trong bộ bài 52 lá. Tính xác suất để 13 con được chọn có 5 con tép, 4 con cơ, 3 con rô, 1 con bích
Giải: 13 52
n C
Có C135 cách chọn 5 con tép trong 13 con tép Có C134 cách chọn 4 lá cơ trong 13 con cơ.
Có C133 cách chọn 3 lá rô trong 13 con rô. Có C131 cách chọn 1 lá bích trong 13 lá bích.
Vậy xác suất phải tìm là:
5 4 3 1 13 13 13 13 13 52 . . . ( ) C C C C 0, 005 P A C
Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 50 số tự nhiên: 1; 2; 3; 4….50 a) Tính xác suất biến cố A: trong 3 số đó chỉ có 2 số là bội của 5. b) Tính xác suất biến cố B: trong 3 số đó có ít nhất một số là số chính
phương.
Giải:
a) Ta có C503 cách chọn 3 số trong 50 số
Trong các số từ 1 đến 50 có 10 số là bội của 5, do đó có C102 cách chọn 2 số là bội
của 5
Có 40 cách chọn một số không phải là bội của 5. Vậy
210 10 3 50 40. ( ) C 0, 09 P A C
b)Trong các số tự nhiên từ 1 đến 50 có 7 số chính phương là 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 Do đó có C433 cách chọn 3 số không là số chính phương
Vậy số cách chọn 3 số trong đó có ít nhất một số là số chính phương là C503 C433
Vậy 3 3 3 50 43 43 3 3 50 50 ( ) C C 1 C 0,37 P B C C
Ví dụ 6: Một người viết 10 lá thư và ghi địa chỉ gửi cho 10 người bạn trên 10 phong bì. Sau đó người đó bỏ ngẫu nhiên 10 lá thư trong 10 phong bì. Tính xác suất để mỗi người bạn đều nhận được lá thư đúng là của mình.
Giải: Bỏ 10 thư vào 10 phong bì có 10! cách bỏ. Chỉ có 1 trường hợp mỗi người nhận đúng thư của mình. Vậy
1 10!
P
3.2.2. Tính xác suất của biến cố dựa vào công thức