MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO TỰ LUYỆN

) P A1 A

MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO TỰ LUYỆN

Bài tập về lập nhóm

Bài 1. Có bao nhiêu cách chia 10 đồ vật đôi một khác nhau cho hai người, sao cho

mỗi người được ít nhất một đồ vật?

Đáp số:

Bài 2: Có 5 cuốn sách giáo khoa giống nhau và 3 cuốn sách tham khảo đôi một

khác nhau được đem làm giải thưởng cho 8 học sinh sao cho mỗi người được 1 cuốn sách. Tính số cách nhận giải thưởng của các học sinh trên.

Đáp số:

Bài 3. Có bao nhiêu cách chia 6 người thành 3 nhóm, mỗi nhóm 2 người, trong

mỗi trường hợp sau:

a) Phân biệt thứ tự các nhóm là: nhóm 1, nhóm 2, nhóm 3 b) Không phân biệt thứ tự của các nhóm?

Đáp số: a) b)

Bài 4. Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho mỗi

người được ít nhất 1 đồ vật?

Hướng dẫn:

TH1: Mỗi người được 2 đồ vật

TH3: Hai người mỗi người được 1, một người được 4 Sử dụng quy tắc cộng, ta được 540 cách chia.

Bài 5: Đội thanh niên xung kích của trường THPT Hùng Vương có 12 học sinh,

gồm 5 học sinh lớp 11A, 4 học sinh lớp 11B và 3 học sinh lớp 11C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.

Đáp số : 270

Bài 6: Có 5 cuốn sách Toán giống nhau, 7 cuốn sách Lý giống nhau và 8 cuốn sách

Hóa giống nhau được đem làm giải thưởng cho 10 em học sinh sao cho mỗi người được hai cuốn sách khác loại. Hỏi số cách chọn giải thưởng dành cho 10 em học sinh giỏi nói trên.

Đáp số : 2520

Bài 7 . Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn Văn

học, 4 cuốn âm nhạc và 3 cuốn hội hoạ (các cuốn đôi một khác nhau) . Thầy giáo muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh, mỗi học sinh một cuốn sao cho sau khi tặng xong, một trong 3 thể loại Văn học, Âm nhạc, Hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?

Đáp số: 579600

Bài 8: Mộthộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn

ra 4 viên bi trong hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho số bi lấy ra không đủ cả ba màu.

Đáp số : 645

Bài9: Một trường tiểu học có 50 em học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp em sinh đôi. Cần chọn ra 3 học sinh trong số 50 em học sinh giỏi đi trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 3 em không có cặp anh em nào sinh đôi.

Đáp số : 19408

Bài 10: Trong 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung

bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ gồm 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.

Đáp số : 7560

Bài tập về hình học

Bài 1 Trên một đường tròn có 15 điểm. Có thể dựng được bao nhiêu tam giác mà

các đỉnh của chúng thuộc tập 15 điểm đó?

Đáp số : 455 tam giác.

Bài 2: Trên mặt phẳng cho thập giác lồi (hình 10 cạnh lồi) ,,.... Xét tất cả các tam giác mà 3 đỉnh của nó là đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đều không phải cạnh của thập giác?

Đáp số:50

a) Tính số đường chéo của đa giác. b) Tính số giao điểm các đường chéo.

Đáp số

a) Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh là . Do đó số đường chéo là −n

b) Cứ 4 điểm bất kỳ ta sẽ được 2 đường chéo cắt nhau tại 1 điểm. Do đó số giao điểm là

Bài 4: Cho đa giác đều (H) có 20 đỉnh

a)Tính số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và không có cạnh nào của H b)Tính số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có 1 cạnh là cạnh của H

Đáp số: a)800 b) 320

Bài 5: Có 6 đường thẳng song song và 12 đường thẳng song song khác cắt 6 đường

thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành ?

Đáp số: 990 hình bình hành.

Bài 6: Có hai đường thẳng song song d1 và d2.Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2

lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong số các điểm đã cho.

Đáp số: 1485

Bài 7: Cho hai đường thẳng song song d1, d2. Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 lấy n điểm phân biệt (n ≥2). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.Tìm n?

Đáp số: 20

Bài 8: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 10 điểm phân biệt và trên

b lấy 13 điểm phân biệt. Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng đã cho?

Đáp số: 3510

Bài 9: Có bao nhiêu đường chéo trong đa giác lồi 15 cạnh nội tiếp đường tròn đó

Đáp số: 90

Bài 10 . Cho hai đường thẳng song song (d1) và (d2). Trên đường thẳng (d2) lấy 17 điểm, trên đường thẳng (d2) lấy 20 điểm phân biệt. Hãy tính số tam giác có các

đỉnh là các điểm trong số các điểm đã lấy hai đường thẳng nói trên.

Đáp số: 5950

Bài tập về lập số

Bài 1: Cho các chữ số thuộc tập A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 }. Có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau mà trong đó có chứa chữ số 1 và 2 và hai chữ số này đứng cạnh nhau.

Đáp số : 104

Bài 2: Cho các chữ số thuộc tập A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 }. Có thể lập được bao

nhiêu số có 9 chữ số trong đó chữ số 6 có mặt ba lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần.

Đáp số : 53760

Bài 3: Cho các chữ số thuộc tập A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 }. Hỏi có thể lập được

bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số trên, trong đó nhất thiết phải có chữ số 4.

Đáp số : 13320

Bài 4: Cho các chữ số thuộc tập A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 }. Có thể lập được bao

nhiêu số có 8 chữ số từ tập trên sao cho các chữ số 1 và 6 có mặt đúng hai lần, còn các chữ số còn lại có mặt một lần.

Đáp số : 10080

Bài 5: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự

nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 2 chữ số chẵn và 2 chữ số 1.

Đáp số : 756

Bài 6: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 2 chữ số chẵn và 2 chữ số 1 đứng cạnh nhau.

Đáp số : 360

Bài tập về nhị thức Niuton

Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 là các hệ số trong khai triển sau:

    11 10

1 11

1 2 ...

x x x a x  a . Hãy tìm hệ số a

5

Bài 2: Tìm hệ số của x5 trong khai triển  5 2 10

1 2 1 3

x  x x  x ( Khối D-2007)

Bài 3: Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức  20

x y z t   ( Đề 4

“TH&TT” -2003)

Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x11 trong

khai triển đa thức: x22 n 3x31n biết:

 

2 2 1 2 2 0

2n 3 2n ... 1 3k k 2n k ... 3n 2 1024

n n n n

C  C     C    C 

Bài tập về phương trình, bất phương trình tổ hợp

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau E =

8 9 1015 15 15 15 15 15 n 2 k 10 n n k 17 C 2C C P A .P C      ĐS: E = (n + 1)(n + 2) + 1

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) 4 n 3 n 4 n 1 n A 24 A  C   23  b) x x x 4 5 6 1 1 1 C C C c) Cx 1x Cx 2x Cxx 3  ... Cxx 10 1023 ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 10

a. C10 xx 4 C10 x2x 10   b. 2 x 2