M Ở ĐẦU
2.4 Phương pháp Nelder-Mead
Thuật toán Nelder – Mead dùng để cực tiểu hàm số thực f(x) với x ∈ Rn. Thuật toán Nelder-Mead sử dụng một mô hình hình học gọi là simplex để di chuyển đi mò điểm tối ưu trong không gian tìm kiếm. Đó là lí do tại sao nó được gọi là “Simplex search method”. Các simplex n-chiều này được biến dạng nhờ 3 phép biến đổi : đối xứng gương, phép co, phép dãn.
Hình 2.2: Các ánh xạgương, phép co, phép dãn
Có 4 tham số cần xác định trong thuật toán Nelder –Mead đó là: hệ số phản xạ , hệ số dãn C, hệ số co D và hệ số thu hẹp E. Theo bài báo gốc của Nelder – Mead các tham số này cần thỏa mãn:
𝜌 > 0; 𝑋 > 1; 𝑋 > 𝜌; 0 < 𝛾 < 1 𝑣à 0 < 𝜎 < 1
𝜌 = 1, 𝑋 = 2, 𝛾 = 1
2 𝑣à 𝜎 = 1 2
Các giá trị tham số này làm cho phương pháp trở nên hiệu quả, ngay cả khi làm việc trong những tình huống phức tạp.
Lúc bắt đầu bước lặp thứk (k ≥ 0) ta có đơn hình không suy biến ∆kvới n+1 đỉnh, mỗi một đỉnh là một điểm trong không gian Rn. Ta luôn luôn có thể giả thiết rằng bước lặp thứ k bắt đầu bằng việc sắp xếp và đánh nhãn các đỉnh này là x1, x2, …, xn+1sao cho:
𝑓1(𝑘) ≤ 𝑓2(𝑘) ≤ ⋯ ≤ 𝑓𝑛+1(𝑘)
Trong đó fi(k) kí hiệu cho f(xi). Bước lặp thứ k sinh ra một tập n+1 đỉnh xác định một đơn hình mới ∆k+1≠∆k. Vì ta cần tính cực tiểu của hàm f nên ta coi x1là điểm tốt nhất, xn+1là đỉnh xấu nhất, xnlà điểm gần xấu nhất. Tương tự ta coi 𝑓𝑛+1(𝑘) là giá trị hàm xấu nhất.
Kết quả của mỗi bước lặp là: hoặc tìm được một đỉnh mới thay thế xn+1trong tập hợp các đỉnh trong bước lặp tiếp, hoặc nếu thực hiện việc thu hẹp thì một tập U đỉnh mới cùng với x1tạo nên đơn hình mới cho bước lặp tiếp theo.