Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).P là một điểm trên đường tròn (O).
Đường thẳng Simson ứng với điểm P cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại A’,
B’, C’. Gọi O O Oa, b, c lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
' ', ' ', ' '
AB C BC A CA B . Chứng minh rằng tam giác O O Oa b c đồng dạng tam giác ABC
và đường tròn ngoại tiếp tam giác O O Oa b c tiếp xúc vớiđường tròn (O).
Bài 2. (T12/433, Tạp chí THTT, tháng 07/2013) Cho tam giác ABC vuông tại C
và nội tiếp đường tròn O . Điểm M chạy trên O và khác các điểm A B C, , ; N là
điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB; P là hình chiếu vuông góc của điểm N
trên đường thẳng AC; đường thẳng MP cắt lại O tại điểm Q. Chứng minh rằng
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Bài 3. (IMO 1982) Cho tam giác A A A1 2 3 không cân với các cạnh a a a1, 2, 3 (ai là cạnh đối với đỉnh Ai). Gọi Mi i1, 2,3 là trung điểm của cạnh a ii 1, 2,3, và
1, 2,3
i
T i là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác A A A1 2 3 với cạnh 1, 2,3
i
a i . Kí hiệu Si i1, 2,3 là điểm đối xứng của T ii 1, 2,3 qua phân giác của góc A ii 1, 2,3. Chứng minh rằng các đường thẳng S M S M S M1 1, 2 2, 3 3 đồng quy
tại một điểm.
Bài 4. (APMO 2000) Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến, phân giác trong
kẻ từ đỉnh A cắt đường thẳng BC lần lượt tại M N, . Đường thẳng qua điêm N cắt
các đường thẳng AB AM, lần lượt tại P Q, và đường thẳng qua P vuông góc với AB
cắt đường thẳng AN tại điểm O. Chứng minh rằng đường thẳng OQ vuông góc với
đường thẳng BC.
Bài 5. (IMO 1981) Cho ba đường tròn bằng nhau, có một điểm chung O và các
đường tròn đều nằm trong tam giác. Mỗi đường tròn tiếp xúc với một cặp cạnh của
tam giác đã cho. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác
và điểm O thẳng hàng.
Bài 6. Cho tứ giác lồi ABCD có BCDA, BC không song song với DA. Lấy E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, DA sao cho BE DF. Gọi P là giao điểm của đường
thẳng AC và BD, Qlà giao điểm của đường thẳng BD và EF, Rlà giao điểm của đường
thẳng EF và AC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua
Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi PP’ là một đường kính tùy ý của (O) và s sP, P' lần lượt là các đường thẳng Simson tương ứng với các điểm P, P’
của đường tròn (O). Chứng minh rằng sP sP' và tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng s sP, P' khi đường kính PP’thay đổi.
Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là một điểm thay đổi trên
(O) và không trùng với các đỉnh A, B, C. Kí hiệu s s s sa, , ,b c d lần lượt là đường thẳng Simson tương ứng với các điểm A, B, C, D và lần lượt đối với các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng s s s sa, , ,b c d đồng quy tại một
điểm P. Tìm quỹ tích điểm P khi điểm D thay đổi trên (O) và không trùng với các
đỉnh A, B, C.
Bài 9. (Korea MO 2009) Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam
giác ABC, và D, E, F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC, CIA, AIB. Gọi
P, Q, R lần lượt là trung điểm của DI, EI, FI. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác PQRlà trung điểm của đoạn thẳng OI.
Bài 10. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của BC, CA, AB. Qua M vẽ tiếp tuyến với (I), cắt đoạn NP tại X. Các điểm Y, Z
được xác định tương tự trên MP, MN. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.
Bài 11. (Sharygin 2012) Cho tam giác ABC vuông tại Bvà điểm Mlà trung điểm của
AC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABM tiếp xúc với các cạnh AB, AM lần lượt tại
1, 2
A A ; đường tròn nội tiếp tam giác ACM tiếp xúc với các cạnh CB, CM lần lượt tại
1, 2
C C . Chứng minh rằng giao điểm của các đường thẳng A A1 2 và C C1 2 cắt nhau tại
một điểm nằm trên phân giác trong của góc ABC.
Bài 12. (Bulgaria NO 2010) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là
điểm tùy ý trên đoạn AB. Gọi I và J lần lượt là tâm các đường tròn tiếp xúc với cạnh
AB, đoạn thẳng CD và đường tròn (O). Giả sử các điểm A, B, I và J cùng nằm trên
một đường tròn. Đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB
tại điểm M. Chứng minh rằng điểm M trùng với điểm D.
Bài 13. (Bulgaria NO 1999) Các đỉnh A, B, C của tam giác nhọn ABC lần lượt nằm
trên các cạnh B C C A A B1 1, 1 1, 1 1 của tam giác A B C1 1 1 và tam giác A B C1 1 1 đồng dạng với
tam giác ABC. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cách đều
Bài 14. (Bulgaria TST 2008) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC và BB CC1, 1 là
các đường cao của tam giác ABC (B C1, 1 là chân các đường cao). Một đường thẳng
qua A vuông góc với AM cắt các đường thẳng BB CC1, 1 lần lượt tại E, F. Gọi k là
đường tròn ngoại tiếp của tam giác EFM. Giả sử k k1, 2 là các đường tròn cùng tiếp
xúc với EF và cung EF không chứa điểm M của đường tròn k. Gọi P, Q là giao điểm
của các đường tròn k k1, 2. Chứng minh rằng P, Q, M thẳng hàng.
Bài 15. Cho là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường thẳng d song song với
BC và cắt AB, AC lần lượt tại E, F, cắt tại U và V. Trung điểm của BC là M, gọi
'
là đường tròn ngoại tiếp tam giác UMV. Giả sử bán kính của và ' bằng nhau,
hai điểm T, S lần lượt là giao điểm của ME và FT với '. Chứng minh rằng đường
thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MCS.
Bài 16. Cho tam giác ABC. Các đường tròn a, b, c có bán kính bằng nhau;a tiếp
xúc với hai cạnh AB AC, ; b tiếp xúc với hai cạnh BC BA, ; c tiếp xúc với hai cạnh ,
CA CB. Đường tròn tiếp xúc với các đường tròn a, b, c lần lượt tại A B C', ', '.
Gọi O I J, , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nội tiếp tam giác
ABC, tâm đường tròn . Chứng minh rằng
a) O I J, , thẳng hàng.