Cho hai tam giác ABC A B C, ' ' ', gọi các giao điểm
' ', ' ', ' '
M = AB∩A B N =BC∩B C P=CA∩C A . Khi đó M, N, P thẳng hàng khi và chỉ
M N N P B A C B' A' C'
Định nghĩa: Hai tam giác ABC A B C, ' ' ' có AA’, BB’, CC’ đồng quy tại Pđược gọi là phối cảnh qua điểm P, điểm Pđược gọi là tâm phối cảnh.
Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD, trên AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm
1, , ,1 1 1
A B C D sao cho các đường thẳng A D BD B C1 1, , 1 1 đồng quy. Chứng minh các
đường thẳng A B C D AC1 1, 1 1, đồng quy Giải Gọi P là điểm đồng quy của A D BD B C1 1, , 1 1. Xét 2 tam giác AA D1 1 và CB C1 1 có 1 1, 1 1 1 1, 1 1 B= AA ∩CB P= A D ∩B C D=D A∩C C Do B, P, D thẳng hàng, theo định lý Desagues, các đường thẳng AC A B D C, 1 1, 1 1 đồng quy.
Ví dụ 2 (Moldova TST 2011). Cho ∆ABC (AB < AC) H là trực tâm của tam giác.
A1, B1 lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B. D đối xứng với C qua A1. AC giao DH
tại E. DH giao A1B1 tại F. AF giao BH tại G. Chứng minh rằng: CH, EG, AD đồng quy.
Áp dụng định lý Desargue đảo cho ∆CED và ∆HGA ta có:
AG giao ED tại F AD giao DC tại A1 HG giao EC tại B1 A1, F, B1thẳng hàng
Do đó theo định lý Desargues ta có CH, EG, AD đồng quy (điều phải chứng minh).
Ví dụ 3 (ELMO 2014 Shortlist G2). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ω. AB
giao CD tại E. AD giao BC tại F. Đường tròn ω1, ω2 lần lượt ngoại tiếp ∆AEF và
∆CEF. ω cắt ω1 tại A và G. ω cắt ω2 tại A và H. Chứng minh rằng: AC, BD, GHđồng quy.
Gọi giao của AG và CH là X. Ta có AG là trục đẳng phương của ω2 và ω CH là trục đẳng phương của ω1 và ω Do đó X thuộc trục đẳng phương của ω1 và ω2 Mà EF là trục đẳng phương của ω1 và ω2 Do đó X∈EF Þ X, E, F thẳng hàng (1) Gọi giao của BH và DG là Y. Áp dụng định lí Pascal cho 6 điểm A, B, H, C, D, G ta có : AB giao CD tại E BH giao DG tại Y HC giao GA tại X Suy ra E, Y, X thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra : X, Y, E, F thẳng hàng.
Áp dụng định lí Desargues vào ∆ADG và ∆CBH ta có :
AD giao BC tại F DG giao BH tại Y GA giao HC tại X F, Y, X thẳng hàng
Do đó AC, BG, GHđồng quy (điều phải chứng minh).
Ví dụ 4. Giả sử ABC là tam giác nhọn với trung tuyến AA’ cắt đường tròn ngoại tiếp tại A”. Gọi APa là đường kính của đường tròn. Đường thẳng vuông góc với APa kẻ
từ A’ cắt tiếp tuyến của đường tròn tại A” tại điểm Xa. Tương tự dựng các điểm Xb và Xc. Chứng minh các điểm này thẳng hàng.
Giải
Trước hết ta có bổ đề: Cho tứ giác ABCD nội tiếp
đường tròn (O). Có AC cắt BD tại K, tiếp tuyến của
đường tròn tại C và D cắt nhau tại L. Điểm R và S thuộc BD và AC sao cho SR song song AB. Đường thẳng qua R vuông đường kính qua B và đường thẳng qua S vuông đường kính qua A cắt nhau tại
điểm thuộc KL. Chứng minh bổđề
Gọi I là giao điểm của đường thẳng qua R vuông
đường kính qua B và đường thẳng qua S vuông
đường kính qua A, J là giao điểm của tiếp tuyến tại A, B của (O).
Sử dụng định lý Pascal có được J, K, L thẳng hàng.
Gọi I I1, 2 là giao điểm của JK và đường thẳng qua R vuông đường kính qua B,
đường thẳng qua S vuông đường kính qua A tương ứng Do I R1 / /JB nên KI1 KR
KJ = KB, I S2 / /JA nên KI2 KS
KJ = KA, SR/ /AB nên KS KR
KA = KB
Suy ra I1 ≡I2 hay I, J, K thẳng hàng, bổ đềđược chứng minh.
JI I S L K A C B D R
Chứng minh bài toán: Gọi S là giao điểm của tiếp tuyến tại B” và C” của (O), T là giao
điểm của đường thẳng qua B’ vuông góc OC và đường thẳng qua C’ vuông góc OB.
Áp dụng bổ đề với tứ giác BCB”C” ta có ST
đi qua trọng tâm G của tam giác.
áp dụng định lý Desargue cho 2 tam giác có 3
đỉnh được dựng như điểm S và điểm T ta
được điều phải chứng minh.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), H là trực tâm. Gọi A B C3, ,3 3 là trung điểm
BC, CA, AB tương ứng. A B C1, ,1 1 là giao điểm của AA BB CC3, 3, 3 với đường tròn ( )O . Gọi A B C0, ,0 0 là giao điểm thứ 2 của các đường tròn đường kính AH BH CH, , với
đường tròn ( )O . Chứng minh A A B B C C0 1, 0 1, 0 1 đồng quy. Ta có A0, H, A3 thẳng hàng và . . . HD HA= HE HB= HF HC = k Sử dụng phép nghịch đảo tâm H phương tích k: 0 3 A →A , tương tự các điểm B0, B3, C0, C3. Suy ra B3, B0, C3, C0 đồng viên. Sử dụng biến đổi góc có được C1, C3, B1, B3 đồng viên. Suy ra B1C1, B3C3, B0C0 đồng quy tại X (3 trục đẳng G S T Pc C" C' Pb B" B' O D C B X F E D C0 B0\ A0 C1 B1 A1 A3 C3] B3] H B C A
phương)
Và X thuộc trục đẳng phương của (O) và (A3B3C3). Tương tự có C1A1 cắt C0A0 tại Y, A1B1 cắt A0B0 tại Z
Có X, Y, Z thẳng hàng ( cùng thuộc trục đẳng phương của (O) và (A3B3C3). Nên theo định lý Đờ dác có điều phải chứng minh.