Phương pháp ước lượng điểm
1. Cho W(X X1, 2,X3) là một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn N(μ, σ2). Lập các thống kê 1 1 1 1 2 1 3
4 2 4
G X X X và 2 1 1 1 2 1 3
3 6 2
G X X X .
a) Chứng minh rằng G G1, 2 là các ước lượng không chệch của μ. b) Trong hai ước lượng trên, ước lượng nào tốt hơn cho μ?
2. Cho W(X X1, 2,X3) là một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn N(μ, σ2). Lập thống kê 1 1 1 2 1 3
3 6 2
G X X X .
a) Tính kì vọng và phương sai của G.
b) Gcó phải là ước lượng hiệu quả của μ không? Tại sao? 3. Từ một mẫu ngẫu nhiên kích thước 5, xét ba thống kê sau:
1 2 1 2 X X G , 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 15 X X X X X G và 3 1 1 1 2 1 3 2 3 6 G X X X
Chứng minh ba thống kê trên là các ước lượng không chệch của trung bình tổng thể m. Ước lượng nào hiệu quả hơn cả?
Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy
4. Trong một cuộc khảo sát 64 khách hàng ở một tiệm ăn nhanh, thời gian đợi trung bình là 3 phút và độc lệch chuẩn là 1,5 phút. Với độ tin cậy 1 − 𝛼, tìm khoảng tin cậy cho thời gian đợi phục vụ trung bình của tiệm ăn này. Biết thời gian đợi phục vụ là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
5. Trong một cuộc điều tra 150 người nghiện thuốc lá được chọn ngẫu nhiên. Người ta tính được số điếu thuốc hút trong một tuần của họ có trung bình là 97 và độ lệch tiêu chuẩn là 36. Tìm khoảng tin cậy 99% cho số điếu thuốc hút trung bình trong 1 tuần của người nghiện thuốc lá. Biết số điếu thuốc hút trong một tuần của người nghiện thuốc là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
6. Tuổi thọ của một loại bóng đèn do một dây chuyền sản xuất ra có độ lệch chuẩn là 95 giờ. Điều tra 50 bóng đèn loại này tính được tuổi thọ trung bình là 350 giờ. Giả thiết tuổi thọ của bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
26 b) Nếu muốn ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn đạt độ chính xác là 25 giờ
và độ tin cậy 98% thì cần điều tra thêm bao nhiêu bóng nữa?
7. Chỉ tiêu A của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Mẫu điều tra về chỉ tiêu A (tính bằng %) của sản phẩm này được cho trong bảng
Xi 0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 35 – 40
ni 7 12 20 25 18 12 5 1
a) Hãy ước lượng trung bình chỉ tiêu A với độ tin cậy 95%.
b) Hãy ước lượng trung bình tối thiểu của chỉ tiêu A với độ tin cậy 95%.
c) Nếu muốn ước lượng trung bình chỉ tiêu A đạt độ tin cậy 95% và độ chính xác 1,2% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
d) Nếu sử dụng mẫu này để ước lượng trung bình các sản phẩm đạt độ chính xác 1% thì đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu?
e) Những sản phẩm có chỉ tiêu A không quá 10% là loại 2. Hãy ước lượng trung bình chỉ tiêu A các sản phẩm loại 2 với độ tin cậy 95%, biết rằng chỉ tiêu A các sản phẩm loại 2 là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
8. Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh của 100 chiếc xe tải trên đường quốc lộ. Họ phát hiện 35 chiếc có phanh chưa đảm bảo.
a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ xe tải có phanh chưa an toàn. b) Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ xe tải có phanh tốt.
9. Điều tra ngẫu nhiên thu nhập/tháng của 100 nhân viên công ty A thu được kết quả sau: Thu nhập (triệu đồng) 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0
Số nhân viên 5 15 25 30 20 5
a) Ước lượng mức thu nhập/tháng trung bình của nhân viên công ty A với độ tin cậy 0,95. b) Hãy ước lượng tỉ lệ nhân viên công ty A có thu nhập không quá 3,6 triệu đồng/tháng với
độ tin cậy 0,95.
Biết thu nhập/tháng của nhân viên công ty này là biến ngẫu nhiên có phân phôi (xấpxỉ) chuẩn.
10. Điều tra doanh thu trong tuần (triệu đồng) của một số cửa hàng bán tạp phẩm ở vùng A, người ta thu được số liệu sau:
Doanh thu trong tuần 21 22 23 24 25 26
Số cửa hàng 7 17 29 27 15 5
Với độ tin cậy 95% hãy:
a) Tìm khoảng tin cậy cho doanh thu/tuần trung bình tối thiểu của mỗi cửa hàng tạp phẩm ở vùng A.
b) Tìm khoảng tin cậy cho độ phân tán của doanh thu/tuần.
27 11. Để nghiên cứu nhu cầu về một loại hàng ở một khu vực, người ta tiến hành khảo sát về nhu
cầu mặt hàng này ở 400 hộ gia đình, kết quả cho trong bảng:
Nhu cầu (kg/tháng) 0 – 1 1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 – 5 5 – 6 6 – 7 7 – 8 Số hộ 10 35 86 132 78 31 18 10
Giả sử khu vực nghiên cứu có 4000 hộ và nhu cầu về loại hàng này là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
a) Ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong một năm với độ tin cậy 95%.
b) Khi ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong một năm, nếu ta muốn độ tin cậy đạt được 99% và độ chính xác là 4,8 tấn thì cần khảo sát nhu cầu loại hàng này thêm bao nhiêu hộ gia đình trong vùng này nữa?
12. Lãi suất cổ phiếu của một công ty là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Giá trị trong 10 năm qua (đơn vị: %) là: 15, 12, 20, 8,10, 16, 14, 22, 18, 19. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng:
a) Độ phân tán (phương sai) của lãi suất cổ phiếu này. b) Độ phân tán tối đa của lãi suất cổ phiếu này.
c) Độ phân tán tối thiểu của lãi suất cổ phiếu này.
13. Một nông dân muốn ước lượng tỉ lệ nảy mầm cho một giống lúa mới. Mẫu điều tra của ông cho kết quả trong 1000 hạt đem gieo có 640 hạt nảy mầm.
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ nảy mầm của giống lúa này.
b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm có sai số không vượt quá 2% và đạt độ tin cậy 95% thì cần gieo ít nhất bao nhiêu hạt?
c) Với độ tin cậy 97% hãy ước lượng số hạt giống nảy mầm tối thiểu khi gieo 10000 hạt. 14. Kết quả quan sát về hàm lượng vitamin C của một loại trái cây cho ở bảng sau:
Hàm lượng vitamin C(%) 3 – 7 8 – 10 11 – 13 14 – 16 17 – 19 20 – 24
Số trái cây 5 10 20 35 25 5
Biết hàm lượng vitamin C ở trái cây này là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. a) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của hàm lượng vitamin C trung
bình trong mỗi trái;
b) Qui ước những trái cây có hàm lượng vitamin C từ 17% trở lên là loại 1. Nếu muốn độ chính xác khi ước lượng hàm lượng vitamin C trung bình là 10,5 và độ chính xác khi ước lượng tỉ lệ trái cây loại 1 là 2 0, 05 với cùng độ tin cậy 95% thì cần mẫu có kích thước tối thiểu bao nhiêu?
15. Để đánh giá trữ lượng cá trong hồ người ta đánh bắt 2000 con cá, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó bắt lại 400 con thì thấy có 80 con có dấu.
28 a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng trữ lượng cá trong hồ.
b) Nếu muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì lần sau phải đánh bắt bao nhiêu con?
16. Lô hàng có rất nhiều sản phẩm loại A và 1000 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra thì thấy có 36 sản phẩm loại B.
a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A có trong lô hàng.
b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A có trong lô hàng đạt được độ chính xác 5% thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu %?
17. Để ước lượng số tờ bạc giả của một loại giấy bạc người ta đánh dấu 200 tờ bạc giả loại này rồi tung vào lưu thông. Sau một thời gian ngắn kiểm tra 600 tờ bạc giả loại này có 15 tờ được đánh dấu. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số tờ bạc giả loại này.
29
Chương 6