Trong mục này chúng tôi xét tính nửa liên tục trên và tính đóng cho bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham số.
Trước hết chúng tôi xét mô hình bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham số mà có nón di động.
Xét X, Y,Λ,Γ, M là các không gian tôpô Hausdorff, lấy Z là không gian véc tơ tôpô Hausdorff, A ⊆X và B ⊆Y là các tập khác rỗng. XétK1 :A×Λ→2A,
K2 :A×Λ→2A, T :A×A×Γ→2B, C:A×Λ→2B và F :A×B×A×M →2Z
là các hàm đa trị với C(x) là nón lồi đóng và intC(x)6=∅.
Để đơn giản hóa, chúng tôi áp dụng một số ký hiệu sau: các chữ w, m và s
tập con U và V, chúng ta có các ký hiệu sau: (u, v) w U×V nghĩa là ∀u∈U,∃v ∈V, (u, v) m U×V nghĩa là ∃v ∈V,∀u∈U, (u, v) s U×V nghĩa là ∀u∈U,∀v ∈V, ρ1(U, V) nghĩa là U ∩V 6=∅, ρ2(U, V) nghĩa là U ⊆V,
(u, v) ¯w U ×V nghĩa là ∃u∈U,∀v ∈V and tương tự đối với m,¯ ¯s,
¯
ρ1(U, V) nghĩa là U ∩V =∅ và tương tự đối với ρ¯2 .
Đặt α ∈ {w, m, s}, α¯ ∈ {w,¯ m,¯ ¯s}, ρ ∈ {ρ1, ρ2} và ρ¯∈ {ρ¯1,ρ¯2}. Chúng ta xét bài toán tựa cân bằng véctơ tổng quát phụ thuộc tham số sau:
(QEPαρ): Tìm x¯∈K1(¯x, λ) sao cho (y, t)αK2(¯x, λ)×T(¯x, y, γ) thỏa mãn
ρ(F(¯x, t, y, µ);C(¯x, λ)).
Với mỗi λ∈Λ, γ ∈Γ, µ∈M, chúng ta đặtE(λ) :={x∈A|x∈K1(x, λ)} và đặt
Σαρ : Λ×Γ×M →2A là ánh xạ đa trị sao cho Σαρ(λ, γ, µ) là tập nghiệm của bài toán (QEPαρ).
Trong suốt phần còn lại của đề tài này chúng ta giả sử rằng Σαρ(λ, γ, µ) 6=∅ với mỗi (λ, γ, µ) trong các lân cận (λ0, γ0, µ0)∈Λ×Γ×M.
Bài toán tựa cân bằng véctơ tổng quát phụ thuộc tham số bao hàm rất nhiều các bài toán khác như:
(a) Nếu T(x, y, γ) = {t},Λ = Γ = M, A =B, X =Y, K1 = K2 =K, ρ = ¯ρ2, ρ = ¯ρ1
và thay thế C(x, λ) bởi −intC(x, λ), thì (QEPαρ¯2) và (QEPαρ¯1) trở thành (PGQVEP) và (PEQVEP), tương ứng trong Kimura-Yao [13].
(PGQVEP): Tìm x¯∈K(¯x, λ) sao cho
và
(PEQVEP): Tìm x¯∈K(¯x, λ) sao cho
F(¯x, y, λ)∩(−intC(¯x, λ)) =∅,∀y ∈K(x, λ).
(b) Nếu T(x, y, γ) = {t},Λ = Γ, A = B, X = Y, K1 = clK,K2 = K, ρ = ρ1, ρ = ρ2
và thay thế C(x, λ)bởi Z\ −intC với C ⊆Z là nón lồi đóng và intC6=∅, thì (QEPαρ1) và (QEPαρ2) trở thành bài toán (QEP) và (SQEP), tương ứng tronh Anh-Khanh [3].
(QEP): Tìm x¯∈clK(¯x, λ) sao cho
F(¯x, y, λ)∩(Z\ −intC)=6 ∅,∀y∈K(x, λ).
và
(SQEP): Tìm x¯∈K(¯x, λ) sao cho
F(¯x, y, λ)⊆Z\ −intC,∀y∈K(x, λ).
(c) Nếu T(x, y, γ) = {t},Λ = Γ = M, A = B, X = Y, K1 = K2 = K, ρ = ¯ρ2 và thay thế C(x, λ) bởi −intC(x, λ), thay thế F bởi f là một hàm đơn trị, thì (QEPαρ¯2) trở thành (PVQEP) trong Kimura-Yao [13].
(PQVEP): Tìm x¯∈K(¯x, λ) sao cho
f(¯x, y, λ)6∈ −intC(¯x, λ)),∀y∈K(x, λ).
Chú ý rằng bài toán tựa cân bằng véctơ tổng quát phụ thuộc tham số còn bao hàm rất nhiều các bài toán khác như các bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm bất động, bài toán điểm trùng và bài toán bù, v.v...Tính chất ổn định nghiệm đã được nghiên cứu trong rất nhiều các mô hình bài toán (xem trong [1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11] và các tài liệu có liên quan.
Tiếp theo chúng tôi xét tính nửa liên tục trên và tính đóng cho bài toán (QEPαρ).
Định lý 2.2.1. Giả sử cho bài toán (QEPαρ) và thỏa mãn các điều kiện sau (i) E là usc tại λ0 và E(λ0) là compắc, và K2 là lsc trong K1(A,Λ)× {λ0}; (ii) trong K1(A,Λ)×K2(K1(A,Λ),Λ)× {γ0}, T là usc và có giá trị compắc nếu
α =w (hoặc α=m), và lsc nếu α=s;
(iii) tập{(x, t, y, µ, λ)∈K1(A,Λ)×T(K1(A,Λ), K2(K1(A,Λ),Λ),Γ)×K2(K1(A,Λ),Λ)× {µ0} × {λ0}:ρ(F(x, t, y, µ);C(x, λ))} là đóng.
Thì Σαρ là cả usc và đóng tại (λ0, γ0, µ0).
Chứng minh. Chúng ta thấy rằng có 6 trường hợp xảy ra. Tuy nhiên cách chứng minh là tương tự, vì vậy chúng ta chỉ cần chứng minh cho một trường hợp ở đây là α=w, ρ=ρ2. Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng Σwρ2 là nửa liên tục trên tại (λ0, γ0, µ0). Thật vậy, chúng ta giả sử ngược lại rằng Σwρ2 là không nửa liên tục trên tại (λ0, γ0, µ0), nghĩa là, có một tập mở U của Σwρ2(λ0, γ0, µ0)
sao cho với mọi {(λn, γn, µn)} hội tụ {(λ0, γ0, µ0)}, tồn tại xn ∈ Σwρ2(λn, γn, µn),
xn 6∈U, ∀n. Từ tính nửa liên tục trên của E và tính compắc củaE(λ0), có thể giả sử rằng xn → x0, x0 ∈ E(λ0). Nếu x0 6∈ Σwρ2(λ0, γ0, µ0), thì ∃y0 ∈ K2(x0, λ0),∀t0 ∈
T(x0, y0, γ0) sao cho
F(x0, t0, y0, µ0)6⊆C(x0, λ0). (2.1) Từ tính nửa liên tục dưới của K2 tại (x0, λ0), tồn tại yn ∈ K2(xn, λn) sao cho
yn →y0. Vì xn ∈Σwρ2(λn, γn, µn), ∃tn ∈T(xn, yn, γn) sao cho
F(xn, tn, yn, µn)⊆C(xn, λn). (2.2) Do T là usc tại (x0, y0, γ0)và T(x0, y0, γ0) là compắc, nên tồn tại t0 ∈T(x0, y0, γ0)
Vì vậyx0∈Σwρ2(λ0, γ0, µ0)⊆U, điều này mâu thuẫn với xn 6∈U,∀n. Do đó, Σwρ2
là nửa liên tục trên tại (λ0, γ0, µ0).
Bây giờ ta chứng minh Σwρ2 là đóng tại(λ0, γ0, µ0). Thật vậy, chúng ta giả sử rằngΣwρ2 là không đóng tại (λ0, γ0, µ0), nghĩa là, there is a net (xn, λn, γn, µn)→
(x0, λ0, γ0, µ0) with xn ∈Σwρ2(λn, γn, µn) nhưng x0 6∈ Σwρ2(λ0, γ0, µ0). Chúng ta lý luận tương tự như trên, ta có Σwρ2 là đóng tại (λ0, γ0, µ0). Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng tất cả các giả thiết của Định lý 2.2.1 thỏa mãn. Tuy nhiên Định lý 3.2 và 3.3 trong Anh - Khanh [3] là không thể làm việc được. Ví dụ 2.2.2. Lấy A = B = X = Y = R,Λ = Γ = M = [0,1], λ0 = 0, C(x, λ) = [0,∞), K1(x, λ) =K2(x, λ) = [0,2λ], T(x, y, γ) = [0,2cos6x+sin4x+2] và F(x, t, y, λ) = {0} nếu λ= 0,
3sin4x+cos2x+1 nếu ngược lại.
Ta thấy rằng giả thiết (i), (ii) và (iii) của Định lý 2.2.1 là dễ ràng thỏa mãn và
Σαρ(λ, γ, µ) = [0,2λ] nếu λ∈(0,1], {0} nếu λ= 0.
Do đó, Σαρ là usc tại (0,0,0). Nhưng Định lý 3.2 và 3.3 trong Anh - Khanh [3] là không thể làm việc được. Vì lý do rằng F vừa không usc vừa lsc.
Nhận xét 2.2.3. Trong trường hợp đặc biệt như ở trên, thì Định lý 4.1 trong Kimura-Yao [13] cũng có kết luận như Định lý 2.2.1 nhưng chứng minh theo cách khác. Giả thiết (i)-(iv) của Định lý 4.1 tương đương với giả thiết (i) trong Định lý 2.2.1, giả thiết (v) trùng với giả thiết (iii) của Định lý 2.2.1
Tiếp theo chúng tôi xét hai mô hình bài toán (QGEP) và (QEEP) như là các trường hợp riêng của mô hình bài toán (QEPαρ).
Nếu K1 = K2 = K, T = {t},Γ = Λ = M, ρ = ρ2 và thay thế “C(¯x, λ)” bởi “Y \ −intC(¯x, λ)” thì bài toán (QEPαρ) trở về với bài toán (QGEP).
(QGEP) Tìm x¯∈K(¯x, λ) sao cho ∀y∈K(¯x, λ),
F(¯x, y, λ)⊆Y \ −intC(¯x, λ).
Nếu K1 = K2 = K, T = {t},Γ = Λ = M, ρ = ρ1 và thay thế “C(¯x, λ)” bởi “Y \ −intC(¯x, λ)” thì bài toán (QEPαρ) trở về với bài toán (QEEP).
(QEEP) Tìm x¯∈K(¯x, λ) sao cho ∀y∈K(¯x, λ),
F(¯x, y, λ)∩(Y \ −intC(¯x, λ))6=∅.
Với mỗi λ ∈Λ ta lấy E(λ) := {x∈ A|x ∈K(x, λ)} và xét S1,2 : Λ→ 2A là các ánh xạ đa trị sao choS1(λ) và S2(λ) là các tập nghiệm của các bài toán (QGEP) và (QEEP), tương ứng. Ta giả sử rằng Si(λ)6=∅, i= 1,2, với mỗi λ∈Λ.
Khi đó ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.4. Giả sử cho bài toán (QGEP) và thỏa mãn các điều kiện sau (i) E là usc tại λ0 và E(λ0) là compắc;
(ii) K là lsc in E(λ0)× {λ0};
(iii) tập {(x, y, λ)∈E(λ0)×K(A,Λ)× {λ0}|F(x, y, λ)⊆Y \ −intC(x, λ)} là đóng. Thì S1 là usc và đóng tại λ0.
Chứng minh. Chứng minh Hệ quả này suy ra từ Định lý 2.2.1, có thể xem
trong [7].
Hệ quả 2.2.5. Giả sử cho bài toán (QEEP) và thỏa mãn các điều kiện sau (i) E là usc tại λ0 và E(λ0) là compắc;
(iii) tập {(x, y, λ) ∈E(λ0)×K(A, λ0)× {λ0}|F(x, y, λ)∩(Y \ −intC(x, λ)) 6=∅} là đóng.
Thì S2 là usc và đóng tại λ0.
Chứng minh. Xem trong [7].