Trong mục này chúng tôi xét tính nửa liên tục dưới và tính nửa liên tục dưới Hausdorff cho tập nghiệm của bài toán (QEPαρ).
Trước hết chúng tôi xét bài toán bổ trợ (QEP∗αρ) của (QEPαρ) như sau: (QEP∗αρ): Tìm x¯∈K1(¯x, λ) sao cho (y, t)αK2(¯x, λ)×T(¯x, y, γ) thỏa mãn
ρ(F(¯x, t, y, µ); intC(¯x, λ)).
Với mỗi λ∈Λ, γ∈Γ, µ ∈M, ta xét Σgαρ : Λ×Γ×M →2A là ánh xạ đa trị sao cho Σgαρ(λ, γ, µ) là tập nghiệm của bài toán (QEP∗αρ).
Ta dễ ràng thấy rằngΣgαρ(λ, γ, µ)⊆Σαρ(λ, γ, µ). Ta cũng giả sử rằngΣgαρ(λ, γ, µ)6=
∅ for each (λ, γ, µ) trong lân cận của (λ0, γ0, µ0)∈Λ×Γ×M.
Định nghĩa 2.3.1. (Xem [14]) XétX và Z như ở trên. Giả sử rằng A là tập lồi khác rỗng của X và F :X →2Z là một ánh xạ đa trị.
(i) F được gọi là lồi trong A nếu với mỗi x1, x2 ∈A và t∈[0,1]
F(tx1+ (1−t)x2)⊃tF(x1) + (1−t)F(x2).
(i) F được gọi là lõm trong A nếu với mỗi x1, x2 ∈A và t∈[0,1]
Định nghĩa 2.3.2. Lấy A và Z như ở trên và C :A→2Z là một nón lồi đóng. Giả sử F : A → 2Z. Ta nói rằng F là C-lõm tổng quát trong A nếu với mỗi
x1, x2 ∈A, ρ(F(x1), C(x1)) và ρ(F(x2),intC(x2)) thì suy ra
ρ(F(tx1+ (1−t)x2),intC(tx1+ (1−t)x2)), ∀t∈(0,1).
Định lý 2.3.3. Giả sử cho bài toán (QEPαρ) và thỏa mãn các điều kiện
(i) E là lsc tại λ0, K2 là usc và có giá trị compắc trong K1(A,Λ)× {λ0} và
E(λ0) là lồi;
(ii) trong K1(A,Λ)×K2(K1(A,Λ),Λ)× {γ0}, T là usc và có giá trị compắc nếu
α =s, và lsc nếu α=w (hoặc α =m);
(iii) ∀t ∈ T(K1(A,Λ)× K2(K1(A,Λ),Λ),Γ),∀µ0 ∈ M,∀λ0 ∈ Λ, K2(., λ0) là lõm trong K1(A,Λ) và F(., t, ., µ0) là C(., λ0)-lõm tổng quát trong K1(A,Λ) ×
K2(K1(A,Λ),Λ);
(iv) tập{(x, t, y, µ, λ)∈K1(A,Λ)×T(K1(A,Λ), K2(K1(A,Λ),Λ),Γ)×K2(K1(A,Λ),Λ)× {µ0} × {λ0}: ¯ρ(F(x, t, y, µ);C(x, λ))} là đóng.
Thì Σαρ là lsc tại (λ0, γ0, µ0).
Chứng minh. Từ cách đặt α = {w, m, s} và ρ = {ρ1, ρ2}, ta có 6 trường hợp. Tuy nhiên kỹ thuật chứng minh của chúng là tương tự. Do đó ta chỉ xét trường hợp α = s, ρ = ρ2. Bây giờ ta chứng minh rằng Σgsρ2 là nửa liên tục dưới tại (λ0, γ0, µ0). Giả sử ngược lại rằng Σgsρ2 là không nửa liên tục dưới tại (λ0, γ0, µ0), nghĩa là, ∃x0 ∈ Σgsρ2(λ0, γ0, µ0), ∃(λn, γn, µn) → (λ0, γ0, µ0), ∀xn ∈
g
Σsρ2(λn, γn, µn), xn 6→x0. Do E là lsc tại λ0, nên tồn tại lưới x0n ∈E(λn), x0n →x0. Từ giả thiết mâu thuẫn ở trên, nên cũng tồn tại một lưới con {x0m} of {x0n} sao cho, ∀m, x0m 6∈ Σgsρ2(λm, γm, µm), nghĩa là, ∃ym ∈ K2(x0m, λm),∃tm ∈T(x0m, ym, γm)
sao cho
F(x0m, tm, ym, µm)6⊆intC(x0m, λm). (2.3) Vì K2 là usc tại (x0, λ0) và K2(x0, λ0) là compắc, nên tồn tại y0 ∈ K2(x0, λ0)
sao cho ym → y0 (có thể lấy một lưới con nếu cần thiết). Từ tính nửa liên tục trên của T tại (x0, y0, γ0), tồn tại t0 ∈ T(x0, y0, γ0) sao cho tm → t0 (có thể lấy một lưới con nếu cần thiết). Vì (x0m, tm, ym, λm, γm, µm)→(x0, t0, y0, λ0, γ0, µ0) và điều kiện (iv) và (2.3) suy ra rằng
F(x0, t0, y0, µ0)6⊆intC(x0, λ0),
điều này là không thể vì x0∈Σgsρ2(λ0, γ0, µ0). Vì vậy, Σgsρ2 là lsc tại (λ0, γ0, µ0). Bây giờ chúng ta kiểm tra rằng
Σsρ2(λ0, γ0, µ0)⊆cl(Σgsρ2(λ0, γ0, µ0)).
Thật vậy, lấyx1 ∈Σsρ2(λ0, γ0, µ0), x2 ∈Σgsρ2(λ0, γ0, µ0) và xα = (1−β)x1+βx2, t ∈
(0,1). Từ tính lồi củaE, ta cóxα ∈E(λ0), và doK2(., λ0)là lõm, nên với mỗiyα ∈
K2(xα, λ0), tồn tại y1 ∈ K2(x1, λ0) và y2 ∈K2(x2, λ0) sao cho yα =ty1+ (1−t)y2. Do tính C-lõm tổng quát của F(., t, ., µ0),ta có
F(xα, t, yα, µ0)⊆intC(xα, λ0),
nghĩa là,xα∈Σgsρ2(λ0, γ0, µ0). Do đóΣsρ2(λ0, γ0, µ0)⊆ cl(Σgsρ2(λ0, γ0, µ0)). Từ tính nửa liên tục dưới của Σgsρ2 tại (λ0, γ0, µ0), ta có
Σsρ2(λ0, γ0, µ0)⊆ cl(Σgsρ2(λ0, γ0, µ0))⊆lim infΣgsρ2(λn, γn, µn)⊆lim inf Σsρ2(λn, γn, µn),
nghĩa là, Σsρ2 là lsc tại (λ0, γ0, µ0).
Ví dụ sau đây cũng cho thấy rằng trong trường hợp đặc biệt, các giả thiết Định lý 2.3.3 sẽ thỏa mãn, nhưng Định lý 2.1 và Định lý 2.3 trong Anh-Khanh [3] là không thỏa mãn.
Ví dụ 2.3.4.LấyA, B, X, Y, T,Λ,Γ, M, λ0, C như trong Ví dụ2.2.2, và lấyK1(x, λ) = K2(x, λ) = [0,λ2] và F(x, y, λ) = [0,1] nếu λ= 0,
[2,4] nếu ngược lại .
Ta thấy rằng các giả thiết (i), (ii), (iii) và (iv) của Định lý 2.3.3 là thỏa mãn và Σαρ(λ, γ, µ)) = [0,λ2],∀λ∈[0,1]. Nhưng Định lý 2.1 và Định lý 2.3 trong Anh- Khanh [3] là không thỏa mãn. Vì lý do rằng F không usc và cũng không lsc tại
(x, y,0).
Ví dụ sau đây cho thấy rằng tính lồi và tính nửa liên tục dưới của E là không thể bỏ qua.
Ví dụ 2.3.5. LấyA, X, Y, Z, C,Λ, M,Γ, λ0như trong Ví dụ2.3.4và lấyK2(x, λ) = [0,1], F(x, t, y, µ) ={1} và K1(x, λ) = {−1,0,1}, nếu λ= 0,
{0,1}, nếu ngược lại.
thì, ta thấy K2 là usc và có giá trị compact trong K1(X, A)× {λ0} và các giả thiết (ii), (iii) và (iv) của Định lý 2.3.3 là thỏa mãn.
Nhưng Σαρ(λ, γ, µ)) là không lsc tại (0,0,0). Vì lý do rằng E là không lsc tại
λ0= 0 và E(0) là không lồi. Thật vậy, lấyx1 =−1, x2 = 0∈E(0) và t= 12 ∈(0,1)
nhưng tx1+ (1−t)x2 6∈ E(0). Thực ra, Σαρ(0,0,0) = {−1,0,1} và Σαρ(λ, γ, µ) =
{0,1},∀λ∈(0,1].
Ví dụ sau đây cho thấy rằng tính lõm của F(., t., µ0) là quan trọng.
Ví dụ 2.3.6. LấyA, X, Y, Z, C,Λ, M,Γ, λ0như trong Ví dụ2.3.5và lấyK1(x, λ) =
K2(., λ0) là lõm và các giả thiết (i), (ii), (iv) của Định lý 2.3.3 là thỏa mãn. Nhưng Σαρ là không lsc tại (0,0,0). Vì lý do rằng tính lõm của F là vi phạm. Thật vậy, lấyx1 = 0, x2 = 32 ∈E(0) = [0,3], thì với mọi y∈K2(A,0) = [0,3], ta có
F(x1, y,0) = 0, F(x2, y,0) = 3/4, nhưng F(12x1+12x2, y,0) =−163 6∈(0,+∞). Định lý 2.3.7. Giả sử cho bài toán (QEPαρ) và thỏa mãn các điều kiện
(i) E là lsc tại λ0, K2 là usc và có giá trị compắc trong K1(A,Λ)× {λ0} và
E(λ0) là lồi;
(ii) trong K1(A,Λ)×K2(K1(A,Λ),Λ)× {γ0}, T là usc và có giá trị compắc nếu
α =s, và lsc nếu α=w (hoặc α =m);
(iii) ∀t ∈ T(K1(A,Λ)× K2(K1(A,Λ),Λ),Γ),∀µ0 ∈ M,∀λ0 ∈ Λ, K2(., λ0) là lõm trong K1(A,Λ) và F(., t, ., µ0) là C(., λ0)-lõm tổng quát trong K1(A,Λ) ×
K2(K1(A,Λ),Λ);
(iv) tập{(x, t, y, µ, λ)∈K1(A,Λ)×T(K1(A,Λ), K2(K1(A,Λ),Λ),Γ)×K2(K1(A,Λ),Λ)× {µ0} × {λ0}: ¯ρ(F(x, t, y, µ);C(x, λ))} là đóng.
(v) K2(., λ0) là lsc trong K1(A,Λ) và E(λ0) là compact;
(vi) trong K1(A,Λ)×K2(K1(A,Λ),Λ), T(., ., γ0) là usc và có giá trị compắc nếu
α =w (hoặc α=m), và lsc nếu α=s;
(vii) tập {(x, t, y)∈K1(A,Λ)×T(K1(A,Λ), K2(K1(A,Λ),Λ),Γ)×K2(K1(A,Λ),Λ) :
ρ(F(x, t, y, µ0);C(x, λ0))} là đóng.
Thì Σαρ là nửa liên tục dưới Hausdorff tại (λ0, γ0, µ0).
Chứng minh. Ta chi xét cho trường hợp α = s, ρ = ρ2, các trường hợp khác là tương tự. Đầu tiên ta chứng minh rằng Σsρ2(λ0, γ0, µ0) là đóng. Thật
vậy, ta lấy xn ∈ Σsρ2(λ0, γ0, µ0) sao cho xn → x0. Nếu x0 6∈ Σsρ2(λ0, γ0, µ0), ∃y0 ∈
K2(x0, λ0),∃t0 ∈T(x0, y0, γ0) sao cho
F(x0, t0, y0, µ0)6⊆C(x0, λ0). (2.4) Do tính liên tục dưới của K2(., λ0) tại x0, nên tồn tại yn ∈ K2(xn, λ0) sao cho
yn → y0. Cũng từ tính liên tục dưới của T(., ., γ0), nên tồn tại tn ∈ T(xn, yn, γ0)
sao cho tn →t0. Vì xn ∈Σsρ2(λ0, γ0, µ0), ta có
F(xn, tn, yn, µ0)⊆C(xn, λ0). (2.5) Từ điều kiện (vii), ta thấy một sự mâu thuẫn giữa (2.4) và (2.5). Vì vậy,
Σsρ2(λ0, γ0, µ0) là đóng.
Mặt khác, vìΣsρ2(λ0, γ0, µ0)⊆E(λ0)và E(λ0)là compắc. Do đóΣsρ2(λ0, γ0, µ0)
là compắc. TừΣsρ2 là nửa liên tục dưới tại(λ0, γ0, µ0)vàΣsρ2(λ0, γ0, µ0)là compắc, nênΣsρ2 là nửa liên tục dưới Hausdorff tại(λ0, γ0, µ0). Vậy ta hoàn thành chứng
minh.
Ví dụ sau đây cho thấy rằng giả thiết compắc trong (v) là không thể bỏ qua. Ví dụ 2.3.8. Lấy X = Y = A = B = R2, Z = R,Λ = M = Γ = [0,1], C(x, λ) =
R+, λ0 = 0, và với x = (x − 1, x2) ∈ R2, K1(x, λ) = K1(x, λ) = {(x1, λx1)} và
F(x, t, y, µ) = 1 +λ. Ta thấy rằng các giả thiết của Định lý 2.3.7 là thỏa mãn, ngoại trừ tính compắc của E(λ0) là không thỏa mãn. Ta dễ ràng tính được
Σαρ(λ, γ, µ) = {(x1, x2) ∈ R2|x2 = λx1} và thấy rằng Σαρ là không nửa liên tục dưới Hausdorff tại (0,0,0) (mặc dù Σαρ là lsc tại (0,0,0)).
Hệ quả 2.3.9. Nếu tất cả các giả thiết của Định lý 2.2.1 và Định lý 2.3.3 thỏa mãn, thì Σαρ vừa liên tục vừa đóng tại (λ0, γ0, µ0).
Hệ quả 2.3.10. Nếu tất cả các giả thiết của Định lý 2.2.1và Định lý 2.3.7 thỏa mãn, thì Σαρ vừa liên tục Hausdorff vừa đóng tại (λ0, γ0, µ0).
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết quả chính của đề tài bao gồm:
1) Nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm cho bài toán tựa cân bằng bởi sử dụng định lý điểm bất động Kakutani-Fan-Glicksberg. Kết quả này được công bố trong [9].
2) Nghiên cứu về tính nửa liên tục trên và tính đóng cho bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham số. Các kết quả này đã được công bố trong [7, 10].
3) Nghiên cứu về tính nửa liên tục dưới cho bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham số. Các kết quả này đã được công bố trong [8].
Đề tài đã giải quyết được những vấn đề ở trên. Tuy nhiên, một số vấn đề đang còn mở ra mà trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, đó là:
- Tiếp tục nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm cho các mô hình bài toán khác nhau bởi lý thuyết điểm bất động Kakutani-Fan-Glicksberg, và xây dựng một số giả thiết khác đơn giản để thay thế một số giả thiết phức tạp đang được áp dụng.
- Tập trung nghiên cứu tiếp về các loại nửa liên tục và nửa liên tục yếu cho các mô hình bài toán khác nhau.
Vì năng lực và điều kiện khách quan khác nên chắc chắn đề tài không tránh khỏi những sai sót. Các tác giả chân thành mong quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến giúp đỡ.
Tài liệu tham khảo
[1] L. Q. Anh and N. V. Hung (2010), Semicontinuity of the solutions set of parametric generalized vector quasiequilibrium problem, The 8th interna- tional spring school on optimization and its applications, NhaTrang.
[2] L. Q. Anh and N. V. Hung (2010), Semicontinuity of the solutions set of vector quasiequilibrium problem, Cimpa-Unesco-Vietnam School Variational Inequalities and Related Problems, Institute of Mathematics.
[3] L. Q. Anh and P. Q. Khanh (2004), Semicontinuity of the solution sets of parametric multivalued vector quasiequilibrium problems, J. Math. Anal. Appl. 294, 699- 711.
[4] L. Q. Anh and P. Q. Khanh (2007), On the stability of the solution sets of general multivalued vector quasiequilibrium problems, J. Optim. Theory Appl. 135, 271-284.
[5] L. Q. Anh and P. Q. Khanh (2010), Continuity of solution maps of para- metric quasiequilibrium problems, J. Glob. Optim. 46, 247-259.
[6] J.P. Aubin and I. Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York.
pings of parametric generalized vector quasiequilibrium problems, Journal of Science Vinh University, Vol 39, No 3, 63-68.
[8] N. V. Hung (2012), Lower semicontinuity of the solution sets of parametric generalized quasiequilibrium problems, Journal of Science Ho Chi Minh City University of Education, Vol 67, No 33, 19-27.
[9] N. V. Hung and P. T. Kieu (2012), Existence of solutions for generalized quasiequilibrium problems, Journal of Science Ho Chi Minh City University of Education, Vol 70, No 36, 15-21.
[10] N. V. Hung (2012), Upper semiontinuity and closedness of the solutions of parametric quasiequilibrium problems, submitted for publication.
[11] P. Q. Khanh and L. M. Luu (2007),Lower Semicontinuity and Upper Semi- continuity of the Solution Sets and Approximate Solution Sets of Parametric Multivalued Quasivariational Inequalities, J Optim Theory Appl, 133, 329- 339.
[12] K. Kimura and J.C. Yao (2008), Sensitivity analysis of solution mappings of parametric vector quasiequilibrium problems, J. Glob. Optim., Vol. 41. [13] K. Kimura and J.C. Yao (2008), Sensitivity analysis of solution mappings
of parametric generalized quasi vector equilibrium problems, Taiwanese J. Math, Vol. 9.
[14] D. T. Luc(1989), Theory of Vector Optimization: Lecture Notes in Eco- nomics and Mathematical Systems, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. [15] X.J. Long, N.J. Huang and K.L. Teo (2008),Existence and stability of solu-
tions for generalized strong vector quasi-equilibrium problems, Math. Com- put. Modelling. 47, 445-451.
[16] S. Plubtieng and K. Sitthithakerngkiet (2011), Existence Result of Gener- alized Vector Quasiequilibrium Problems in Locally G-Convex Spaces, Fixed Point Theory. Appl, Article ID 967515, doi:10.1155/2011/967515.
[17] Y. Yang and Y.J. Pu (2012),On the existence and essential components for solution set for symtem of strong vector quasiequilibrium problems. J. Glob. Optim, online first.