- Nế uT thuộc tập K, thì A lại có thể chọn ngườ i1 bắt cặp với T, quá trình cứ lặp lại như vậy rồi sẽ đến lúc B phải chọn được một người “T” nào đó không thuộc tập
2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ TẬP HỢP
2.3. THIẾT LẬP ÁNH XẠ GIỮA CÁC TẬP HỢP
Ví dụ 2.3.1(Italy 2000). Cho X là một tập hợp hữu hạn với |X|=n, và đặtA1,A2, . . . ,Am là các tập
con chứa 3 phần tử củaX thỏa mãn|AiTAj| ≤1với mọii6= j. Chứng tỏ tồn tại tập conAcủaX chứa ít nhất[√
2n]phần tử mà không nhận bất cứ tậpAi(i=1,2, . . . ,m)nào là tập con của nó.
Giải. 1. Để tậpAkhông chứa bất kỳ tậpAinào làm tập con, thì lẽ tự nhiên tậpAchứa càng ít phần tử càng tốt.
2. Tuy nhiên đề bài lại yêu cầu |A| ≥√2n, tức một chặn dưới cho|A|. Nghĩa là đề bài yêu cầu tồn tại tập A có số lượng phần tử "tương đối" nhiều. Để làm việc với những tập tương đối nhiều phần tử, thông thường ta làm trên tập có nhiều phần tử nhất.Giả sửAlà một tập con củaX mà
không chứa bất kỳ một tậpAinào, với số phần tử lớn nhất. Đặtk=|A|.
• Ý nghĩa như sau: bất kỳ tập con nào củaX có số phần tử>k, sẽ đều chứa một tập con Ai nào đó.
• Do đó ta sẽ khảo cứu những tập vi phạm sinh ra từA, những tập đó bằng tậpAthêm một phần tử ngoàiA, tức thêm vàoAmột phần tử của tậpX\A.
3. Cách 1. Vì|A| chứakphần tử nênX\Acón−kphần tử.
4. Cách 2. Xétxlà một phần tử củaX nhưng không thuộcA,x∈X\A. Theo tính tối đại của tậpA, thì
AS{x}sẽ không thỏa mãn điều kiện bài toán. Nghĩa là sẽ tồn tại một chỉ sối(x)∈ {1,2, . . . ,m}
sao cho
Ai(x)⊆A[{x}.