- Nế uT thuộc tập K, thì A lại có thể chọn ngườ i1 bắt cặp với T, quá trình cứ lặp lại như vậy rồi sẽ đến lúc B phải chọn được một người “T” nào đó không thuộc tập
2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ TẬP HỢP
CỰC TRỊ TẬP HỢP 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ TẬP HỢP •Lấy20×(1) +12×(2) +27×(3)ta có
59n≥140(i+ j+k) =140m⇒m≤ 59n 140 < 3n 7 .
Bài toán được chứng minh hoàn toàn.
Ví dụ 2.5.6 (Romania TST 2006). Cho n là số nguyên dương. Một tập con S⊂ {0,1,2, . . . ,4n−1}
được gọi là tậprời rạcnếu với sốkbất kỳ, hai điều kiện được sau thỏa mãn
1. TậpST{4k−2,4k−1,4k,4k+1,4k+2}có tối đa 2 phần tử. 2. TậpST{4k+1,4k+2,4k+3}có tối đa 1 phần tử.
Hỏi tập{0,1, . . . ,4n−1}có bao nhiêu tập con rời rạc?
Chứng minh. • Ta diễn giải tậpS, trong tập 5 số: gồm 4 số chia hết cho 4, chia 4 dư 1, chia 4 dư
2, chia 4 dư 3 và thêm một số chia 4 dư 2 thì tập Schứa tối đa 2 phần tử trong chúng. Trong một
tập 3 số: chia 4 dư 1, dư 2, dư 3 thì tậpSchứa tối đa một số. Rõ ra hai số chia cho 4 dư 2 và dư 3
không thể cùng nằm trong tậpS(vì vi phạm điều kiện (ii)).
• GọiSnlà tập hợp chứa các tập con rời rạc của tập{0,1,2, . . . ,4n−1}. Rõ ràng làcác số có dạng 4k+1,4k+2 bị ràng buộc bởi hai điều kiện. Đây chính là cơ sở cho việc xây dựng công thức truy hồi.
• GọiXn là tập hợp chứa các tập con củaSn mà mỗi tập con của nó chứa phần tử4n−1(tức là các tập con củaSnmà các tập con đó chứa phần tử chia 4 dư 3).
• Gọi Yn là tập hợp chứa các tập con của Sn mà mỗi tập con của nó không chứa cả hai phần tử
4n−1và4n−2(tức là chứa các tập con củaSn mà mỗi tập con của nó không chứa hai phần tử chia 4 dư 2 và chia 4 dư 3, nghĩa là nó sẽ chứa các phần tử chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1).
• Gọi Zn là tập hợp chứa các tập con của Sn mà mỗi tập con của nó chứa phần tử4n−2(tức là
chứa các tập con củaSn mà các tập con đó chứa phần tử chia 4 dư 2). Khi đó
|Sn|=|Xn|+|Yn|+|Zn|.
1. Xét tập hợp Xn+1 được xây dựng từ các tập hợp còn lại. Xét tập hợp {1,2, . . . ,4n−2,4n−
1,4n,4n+1,4n+2,4n+3}.
• Từ tập Xn, khi đó ta chỉ có thể thêm vào mỗi tập củaXn phần tử4nhoặc không thêm vào,
vì bản thân tậpXn+1 đã chứa phần tử4n+3. Vậy|Xn+1|=2|Xn|.
• Từ tậpYn, ta cũng chỉ có thể thêm vào mỗi tập củaYn phần tử4nhoặc không thêm vào. Vì
vậy|Xn+1|=2|Yn|.
• Từ tậpZn, ta cũng chỉ có thể thêm vào mỗi tập củaYnphần tử4nhoặc không thêm vào. Vậy
|Xn+1|=2|Zn|.
Từ đó ta có quan hệ truy hồi
|Xn+1|=2|Xn|+2|Yn|+2|Zn|=2|Sn| (1).