Cho một tập hợp Tw wc, r trong đó bao gồm tất cả các đồ thị Tanner LDPC đều với các nút bit bậcwc và các nút kiểm tra của mức độ wr, chúng ta muốn biết làm thế nào các bộ giải mã truyền thông điệp sẽ thực hiện trên kênh tẩy xoá nhị phân sử dụng mã từ tổ hợp này.
Cho bộ giải mã truyền thông điệp trên BEC, các thông điệp giữ một trong hai giá trị hiện tại của các bit, có thể là '1 'hoặc '0' nếu biết hoặc 'x' nếu giá trị bit không được biết. Chúng ta xác định ql là xác suất tại phiên thứ nhất kiểm tra bit thông điệp là 'x' và pl là xác suất tại phiên thứ l một bit để kiểm tra thông điệp là 'x' (tức là pl là xác suất mà một bit từ mã vẫn bị xóa tại phiên thứ l).
Nhóm: Vũ Văn Nam, Trương Văn Mạnh, Lê Trí Hiếu, Nguyễn Hoàng Long Page 47 Kiểm tra bit thông điệp trên một cạnh là 'x' nếu một hoặc nhiều các thông điệp đến trên các cạnh khác (wr1) vào nút kiểm tra xác suất là 'x', ql, một bit kiểm tra thông điệp là 'x' tại lặp l chúng tôi làm cho giả định rằng tất cả các tin nhắn gửi đến là độc lập với nhau. Có nghĩa là, chúng ta giả định rằng trước hết kênh là không nhớ, do đó không có xác suất bit ban đầu có tương quan, và thứ hai là không có chu kỳ trong đồ thị Tanner chiều dài 2l hoặc ít hơn, như một chu kỳ sẽ gây ra các tin nhắn để trở thành tương quan. Với giả định này, xác suất mà không có wr khác - 1 tin nhắn gửi đến đến nút kiểm tra là 'x' chỉ đơn giản là sản phẩm của các xác suất (1pl), mà mỗi tin nhắn cá nhân không phải là 'x'. Vì vậy, xác suất mà một hoặc nhiều các tin nhắn đến khác là 'x' là một trừ đi:
1 (1 )(wr 1)
l l
q p (3.1) Tại lặp l bit để kiểm tra tin nhắn sẽ được 'x' nếu thông điệp ban đầu từ kênh là một tẩy xoá, xảy ra với xác suất ε, và tất cả các tin nhắn gửi đến tại lặp l – 1 lần là tẩy xóa, mà mỗi người đều có khả năng ql. Một lần nữa chúng ta giả định rằng tất cả các tin nhắn gửi đến là độc lập với nhau, và do đó xác suất mà các bit để kiểm tra tin nhắn là một 'x' là sản phẩm của các xác suất mà người kia wc1 tin nhắn gửi đến với nút bit , và tin nhắn
ban đầu từ các kênh, đã bị xóa.
( 1)(wc 1) l l p q (3.2) Thayql1 từ (3.1) được: (1 (1 )(wr 1))(wc 1) l l p p (3.3) Trước khi giải mã các giá trị của p0 là xác suất mà các kênh xóa một bit từ mã:
0
p
như vậy cho một (w wc, r) – tập hợp chuẩn xác: p0 , (5) (2) 0 0 (1 (1 ) ) 0.3 l l p p p p (3.4)
Đệ quy trong (3.4) mô tả xác suất xoá của giải mã truyền thong điệp khai triển như là một hàm của l số lặp đi lặp lại cho (w wc, r) - Mã LDPC hệ thống .Áp dụng đệ quy này,
Nhóm: Vũ Văn Nam, Trương Văn Mạnh, Lê Trí Hiếu, Nguyễn Hoàng Long Page 48 chúng ta có thể xác định xác suất xoá các bộ giải mã thông điệp đi qua có khả năng sửa chữa tẩy xóa.
Ví dụ 3.1
Một mã từ (3,6) thường là được truyền trên một kênh tẩy xoá nhị phân với khả năng tẩy xoá ε = 0,3 và giải mã với thuật toán truyền thông điệp. Xác suất mà một bit từ mã sẽ vẫn bị xóa sau khi lặp l lần của việc giải mã truyền thông điệp (nếu mã đồ thị Tanner là chu kỳ tự do) được đưa ra bởi các đệ quy:
0 0.3
p , pl p0(1 (1 pl) )(5) (2)
Áp dụng đệ quy này cho 7 lần lặp được chuỗi các xác suất bit tẩy xoá,
0 0.3000,
p p10.2076, p2 0.1419, p30.0858,
Nhóm: Vũ Văn Nam, Trương Văn Mạnh, Lê Trí Hiếu, Nguyễn Hoàng Long Page 49 Do đó xác suất tẩy xoá trong một từ mã từ 4-chu kỳ tự do (3,6) –thông thường mã LDPC truyền đi trên một BEC với xác suất tẩy xoá 0.3 sẽ tiếp cận 0 sau bảy lần lặp lại của việc giải mã truyền thông điệp
Ví dụ 3.2.
Mở rộng Ví dụ 3.1, chúng tôi muốn biết xác suất tẩy xoá các mã từ một quần thể (3,6) – thường có khả năng có thể sửa chữa. Áp dụng đệ quy (3.3) với một loạt các xác suất tẩy xoá kênh chúng ta thấy, trong hình. 3.1, cho các giá trị ε ≥ 0.43 thì xác suất tẩy xóa còn lại không giảm xuống bằng không ngay cả khi l rất lớn, trong khi đó, đối với giá trị của ε ≤ 0.42 xác suất lỗi không tiếp cận không như l → ∞. Giá trị chuyển đổi của ε, giữa hai kết quả này là toàn bộ được gọi là ngưỡng của (3,6). Một lần nữa áp dụng đệ quy (3.3), hình. 3.2 cho thấy ngưỡng một quần thể (3,6) thường trên kênh tẩy xoá nhị phân là giữa 0,4293 và 0,4294.
Nhóm: Vũ Văn Nam, Trương Văn Mạnh, Lê Trí Hiếu, Nguyễn Hoàng Long Page 50